Question

在矩形ABCD中，BC=4，BG與對(duì)角線AC垂直且分別交AC，AD及射線CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，AB=x．
（1）當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時(shí)，求x的值；
（2）當(dāng)點(diǎn)F為AD中點(diǎn)時(shí)，求x的值及∠ECF的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時(shí)，點(diǎn)F也與點(diǎn)D重合，在由AC與BD垂直，利用對(duì)角線垂直的矩形為正方形，得到ABCD為正方形，由正方形的四條邊相等得到AB=BC=4，可得出x的值為4；
（2）由矩形的對(duì)邊相等，得到AD=BC=4，又F為AD的中點(diǎn)，得到AF=2，再由矩形的對(duì)邊平行，得到AF與BC平行，由兩直線平行得到兩對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似得到三角形AEF與三角形CEB相似，且相似比為1：2，得到EC=2AE，BE=2EF，即AC=3AE，BF=3EF，在三角形ABC和三角形ABF中，分別利用勾股定理得到AC²=AB²+BC²，BF²=AF²+AB²，將各自的值代入，兩等式左右兩邊分別相加，得到9（AE²+FE²）=2x²+20，又在直角三角形ABE中，利用勾股定理得到AE²+FE²=AB²=x²，列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到x的值；由F為AD的中點(diǎn)，利用對(duì)稱性得到BF=CF，由AF平行與BC，得到兩對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，進(jìn)而確定出三角形AEF與三角形BEC相似，由相似得比例，且相似比為1：2，利用銳角三角函數(shù)定義即可求出∠ECF的正弦值．
解答：解：（1）當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時(shí)，點(diǎn)F也與點(diǎn)D重合，
∵矩形ABCD中，AC⊥BG，
∴四邊形ABCD是正方形，
∵BC=4，
∴x=AB=BC=4；

（2）∵點(diǎn)F為AD中點(diǎn)，且AD=BC=4，
∴AF=AD=2，
∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAF=∠ECB，∠AFE=∠CBE，
∴△AEF∽△CEB，
∴====，
∴CE=2AE，BE=2FE，
∴AC=3AE，BF=3FE，
∵矩形ABCD中，∠ABC=∠BAF=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△BAF中，AB=x，
分別由勾股定理得：AC²=AB²+BC²，BF²=AF²+AB²，即（3AE）²=x²+4²，（3FE）²=2²+x²，
兩式相加，得9（AE²+FE²）=2x²+20，
又∵AC⊥BG，
∴在Rt△AEF中，根據(jù)勾股定理得：AE²+FE²=AF²=4，
∴36=2x²+20，
解得：x=2或x=-2（舍去），
故x=2；
∵F為AD的中點(diǎn)，
由對(duì)稱性得到BF=CF，
∵AF∥BC，
∴△AEF∽△CEB，
∴==，
∴sin∠ECF===．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似型綜合題，涉及的知識(shí)有：正方形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及銳角三角函數(shù)定義，利用了方程的思想，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．