Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過點C的直線交AB的延長線于點D，AE⊥DC，垂足為E，F是AE與⊙O的交點，AC平分∠BAE，連接OC．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若⊙O半徑為4，∠D=30°，求圖中陰影部分的面積（結果用含π和根號的式子表示）．

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；（2）

【解析】試題分析：由OA=OC，根據等腰三角形的性質可得∠OAC=∠OCA .根據角平分線的定義可得∠OAC=∠CAE ，所以∠OCA=∠CAE ，即可判定OC∥AE ，再由AE⊥DE ，即可得∠E =90°=∠OCD，結論得證；（2）在Rt△ODC中，求得OD、CD的長，再由S陰影=S△OCD-S扇形OBC即可求得圖中陰影部分的面積．

試題解析：

（1）證明：

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA .

∵AC平分∠BAE，

∴∠OAC=∠CAE ，

∴∠OCA=∠CAE ，

∴OC∥AE ，

∴∠OCD=∠E .

∵AE⊥DE ，

∴∠E =90°=∠OCD，

即OC⊥CD ，

∴CD是圓O的切線.

（2）在Rt△ODC中，

∵∠D=30°，OC=4，

∴∠COD=60°，OD=2OC=8

∴，

∴S陰影=S△OCD-S扇形OBC= .