Question

【題目】如圖已知：AB是圓O的直徑，AB=10，點C為圓O上異于點A、B的一點，點M為弦BC的中點．

（1）如果AM交OC于點E，求OE：CE的值；

（2）如果AM⊥OC于點E，求∠ABC的正弦值；

（3）如果AB：BC=5：4，D為BC上一動點，過D作DF⊥OC，交OC于點H，與射線BO交于圓內點F，請完成下列探究．

探究一：設BD=x，FO=y，求y關于x的函數(shù)解析式及其定義域．

探究二：如果點D在以O為圓心，OF為半徑的圓上，寫出此時BD的長度．

Answer 1

【答案】（1）OE:CE=1：2；（2）；（3）探究一： （其中），探究二：.

【解析】

（1）過點O作ON║BC交AM于點N，根據(jù)AB是圓O的直徑，點M為弦BC的中點即可；

（2）證明△OME∽△MCE，求出即可；

（3）過點D作DL⊥BO于點L，設BD=，則CD=，BL=DL=，CH=，OH= ，根據(jù)，求出y的解析式，再根據(jù)OC垂直平分DF，求出BD即可.

解：（1）過點O作ON║BC交AM于點N，

∵AB是圓O的直徑，ON∥BM，∴

∵點M為弦BC的中點，∴

∴OE:CE=ON:BM=1：2

（2）∵點M為弦BC的中點，

∴OM⊥BC.

∴∠C＋∠MOC=90°，

∵AM⊥OC于點E，

∴∠MOC＋∠OME=90°，

∴∠OME=∠C.

∵∠OME=∠C，∠MOE=∠MOE，

∴△OME∽△MCE

∴.

設OE=，則CE=2， ME=

在直角△MCE中，，

∴.

（3）過點D作DL⊥BO于點L，

∵AB=10，AB：BC=5：4，

∴BC=8，

設BD=，則CD=，BL=DL=，CH=，OH= ，

∵OH∥LD，

∴

∴

∴ （其中）

∵以O為圓心，OF為半徑的圓經過D，

∴OC垂直平分DF，FO=OL，

，

此時．