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直線y=x+與x軸交于點A,與y軸交于點B,⊙M為△AOB的外接圓.點C是劣弧上一動點(不與A,O重合)
(1)求⊙M的面積.
(2)連接BC交AO于點D,延長BC到點E,使DE=2,試探究,當點C運動到何處時,直線AE與⊙M相切,并說明理由.

【答案】分析:(1)首先求出A,B兩點的坐標,由⊙M經過點A,O,B,且∠AOB=90°,從而得出圓的半徑進而求出面積;
(2)利用切線性質定理與判定定理先得出△EAD為等邊三角形,進而求出AE為⊙M的切線.
解答:解:(1)對于y=x+中,令x=0,y=;令y=0,x=-3,
∴A(-3,0),B(0,),
∵⊙M經過點A,O,B,且∠AOB=90°,
∴AB為⊙M的直徑.
AB=2,半徑為,
S=3π;

(2)當C運動到劣弧AO的中點時,直線AE與⊙M相切.
證明:∵在RT△AOB中,OB=AB,
∴∠ABO=60°,∠BAO=30°,
∵點C是劣弧AO的中點,
,
∴∠ABD=∠CBO=30°,
∴OD=OBtan30°=1,∠BDO=60°,
∴△EAD中,AD=3-1=2,∠ADE=∠BDO=60°,
∵DE=2,
∴△EAD為等邊三角形,
∴∠EAD=60°,
∴∠BAE=30°+60°=90°,
∴AB⊥AE,
∴AE為⊙M的切線.
點評:此題主要考查了切線的性質定理與判定定理,此定理是初中階段最重要的定理之一,同學們應熟練地應用.
練習冊系列答案
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科目:初中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,在直角坐標系中,點A的坐標為(0,8),點 B(b,t)在直線x=b上運動,點D、E、F分別為OB、0A、AB的中點,其中b是大于零的常數.
(1)判斷四邊形DEFB的形狀.并證明你的結論;
(2)試求四邊形DEFB的面積S與b的關系式;
(3)設直線x=b與x軸交于點C,問:四邊形DEFB能不能是矩形?若能.求出t的值;若不能,說明理由.

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,拋物線y=ax2+bx+c的頂點為P,對稱軸直線x=1與x軸交于點D,拋物線與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,其中A(-1,0)、C(0,3).
(1)求此拋物線的解析式;
(2)點E在線段BC上,若△DEB為等腰三角形,求點E的坐標;
(3)點F、Q都在該拋物線上,若點C與點F關于直線x=1成軸對稱,連結BF、BQ,如果∠FBQ=45°,求點Q的坐標;
(4)將△BOC繞著它的頂點B順時針在第一象限內旋轉,旋轉后的圖形為△BO′C′,BO′與BP重合時,則△BO′C′不在BP上的頂點C′的坐標為
(3+
3
5
5
,
9
5
5
(3+
3
5
5
9
5
5
(直接寫出答案).

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科目:初中數學 來源: 題型:

(2013•寶山區(qū)一模)如圖,在平面直角坐標系xOy中,多邊形OABCDE的頂點坐標為O(0,0),A(2,0),B(2,2),C(4,2),D(4,4),E(0,4),若如圖過點M(1,2)的直線MP(與y軸交于點P)將多邊形OABCDE分割成面積相等的兩部分,則直線MP的函數表達式是
y=
1
2
x+
3
2
y=
1
2
x+
3
2

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科目:初中數學 來源: 題型:

(2013•無錫)如圖,直線x=-4與x軸交于點E,一開口向上的拋物線過原點交線段OE于點A,交直線x=-4于點B,過B且平行于x軸的直線與拋物線交于點C,直線OC交直線AB于D,且AD:BD=1:3.
(1)求點A的坐標;
(2)若△OBC是等腰三角形,求此拋物線的函數關系式.

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科目:初中數學 來源: 題型:

直線y=2x與y軸交于A點,再將此直線向上平移一個單位,與曲線y=
2
x
交于B、C兩點,則△ABC的面積等于
17
4
17
4

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