Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交BC、AC于點D、E，

聯(lián)結EB交OD于點F．

（1）求證：OD⊥BE；

（2）若DE=，AB=5，求AE的長．

Answer 1

解：（1）聯(lián)結AD

   ∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=∠AEB =90°  --- 1分

∵AB=AC，∴CD=BD

∵OA=OB，∴OD//AC

∴OD⊥BE        -------------------------------- 2分

（2）方法一：∵∠CEB=∠AEB=90°，CD=BD,AB=5, DE=

∴AC=AB=5,  BC=2DE=2,         --------------- 3分

在△ABE、△BCE中，∠CEB=∠AEB=90°，則有

設AE=x, 則           -------- 4分

解得：x=3          

∴AE=3                  ------------- 5分

方法二：∵OD⊥BE，∴BD=DE，BF=EF     -----------3分

設AE=x,∴OF=，在△OBF、△BDF中，∠OFB=∠BFD=90°

∴      

∵DE=，AB=5，   ∴      -----------4分

解得：x=3，   ∴AE=3                           ----------5分

方法三：∵BE⊥AC AD⊥BC,

∴S△ABC=BC·AD=AC·BE,     -----------------------------3分

∴BC·AD=AC·BE

∵BC=2DE=2，AC=AB=5

∴BE=4 ,                       -------------------4分

∴AE=3                       --------------------------5分