Question

如圖，已知拋物線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式及其頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)直線(xiàn)交軸于點(diǎn)．在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于點(diǎn)到原點(diǎn)的距離？如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，交直線(xiàn)于點(diǎn)，將拋物線(xiàn)沿其對(duì)稱(chēng)軸平移，使拋物線(xiàn)與線(xiàn)段總有公共點(diǎn)．試探究：拋物線(xiàn)向上最多可平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度？向下最多可平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度？

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2）

（3）向上最多可平移72個(gè)單位長(zhǎng)，向下最多可平移個(gè)單位長(zhǎng)

【解析】（1）設(shè)拋物線(xiàn)解析式為，把代入得．

，

頂點(diǎn)  （4分）

（2）假設(shè)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)存在，依題意設(shè)，

由求得直線(xiàn)的解析式為，

它與軸的夾角為，設(shè)的中垂線(xiàn)交于，則．

則，點(diǎn)到的距離為．

又． （2分）

．

平方并整理得：

．

存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)，的坐標(biāo)為．    （2分）

（3）由上求得．

①若拋物線(xiàn)向上平移，可設(shè)解析式為．

當(dāng)時(shí)，．

當(dāng)時(shí)，．

或．

．  （2分）

②若拋物線(xiàn)向下移，可設(shè)解析式為．

由，

有．

，．

向上最多可平移72個(gè)單位長(zhǎng)，向下最多可平移個(gè)單位長(zhǎng)． （2分）