Question

【題目】在一節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課上，老師拿出三個(gè)邊長(zhǎng)都為5cm 的正方形硬紙板，他向同學(xué)們提出了這樣一個(gè)問題：若將三個(gè)正方形紙板不重疊地放在桌面上，用一個(gè)圓形硬紙板將其蓋住，這樣的圓形硬紙板的最小直徑應(yīng)有多大？問題提出后，同學(xué)們經(jīng)過討論，大家覺得本題實(shí)際上就是求將三個(gè)正方形硬紙板無重疊地適當(dāng)放置，圓形硬紙板能蓋住時(shí)的最小直徑．老師將同學(xué)們討論過程中探索出的三種不同擺放類型的圖形畫在黑板上，如圖所示：

（1）通過計(jì)算（結(jié)果保留根號(hào)與π）．

（Ⅰ）圖①能蓋住三個(gè)正方形所需的圓形硬紙板最小直徑應(yīng)為

（Ⅱ）圖②能蓋住三個(gè)正方形所需的圓形硬紙板最小直徑為

（Ⅲ）圖③能蓋住三個(gè)正方形所需的圓形硬紙板最小直徑為

(2)其實(shí)上面三種放置方法所需的圓形硬紙板的直徑都不是最小的，請(qǐng)你畫出用圓形硬紙板蓋住三個(gè)正方形時(shí)直徑最小的放置方法，（只要畫出示意圖，不要求說明理由），并求出此時(shí)圓形硬紙板的直徑．

Answer 1

【答案】(1) ; ; ;(2)

【解析】試題分析：（1）（Ⅰ）觀察圖形可知：圖①能蓋住三個(gè)正方形所需的圓形硬紙板最小直徑=三個(gè)正方形組成的矩形的對(duì)角線長(zhǎng)，利用勾股定理可求出結(jié)果；（Ⅱ）圖②中圓形硬紙板的半徑是正方形的對(duì)角線長(zhǎng)，利用勾股定理可求出結(jié)果；（Ⅲ）圖③中圓形硬紙板的直徑是正方形的對(duì)角線長(zhǎng)的2倍，利用勾股定理可求出結(jié)果；（2）把三個(gè)正方形擺成“品”字形時(shí)，形硬紙板的直徑最小，根據(jù)勾股定理解答即可．

試題解析：（1）（Ⅰ）觀察圖形可知：圖①能蓋住三個(gè)正方形所需的圓形硬紙板最小直徑=三個(gè)正方形組成的矩形的對(duì)角線長(zhǎng)=；（Ⅱ）圖②中圓形硬紙板的半徑=正方形的對(duì)角線長(zhǎng)=，所以直徑=；（Ⅲ）圖③中圓形硬紙板的直徑=正方形的對(duì)角線長(zhǎng)的2倍=；

（2）如圖④為蓋住三個(gè)正方形時(shí)直徑最小的放置方法

連接OB，ON，延長(zhǎng)OH交AB于點(diǎn)P，則OP⊥AB，P為AB中點(diǎn)設(shè)OG=x，則OP=8-x

則有：，

解得：x=

則ON=，∴直徑為．