Question

把下列各式分解因式：
（1）（a²+a+1）（a²-6a+1）+12a²；
（2）（2a+5）（a²-9）（2a-7）-91；
（3）；
（4）（x⁴-4x²+1）（x⁴+3x²+1）+10x⁴；
（5）2x³-x²z-4x²y+2xyz+2xy²-y²z．

Answer 1

解：（1）令a²+1=b，
則原式=（b+a）（b-6a）+12a²
=b²-5ab-6a²+12a²
=b²-5ab+6a²
=（b-2a）（b-3a）
=（a²+1-2a）（a²+1-3a）
=（a-1）²（a²-3a+1）；

（2）原式=[（2a+5）（a-3）][（a+3）（2a-7）]-91
=（2a²-a-15）（2a²-a-21）-91
=（2a²-a）²-36（2a²-a）+224
=（2a²-a-28）（2a²-a-8）
=（a-4）（2a+7）（2a²-a-8）；

（3）設x+y=a，xy=b，
則原式=b（b+1）+（b+3）-2（a+）-（a-1）²
=（b²+2b+1）-a²
=（b+1+a）（b+1-a）
=（xy+1+x+y）（xy+1-x-y）；

（4）令x⁴+1=a，
則原式=（a-4x²）（a+3x²）+10x⁴
=a²-x²a-2x⁴=（a-2x²）（a+x²）
=（x⁴+1-2x²）（x⁴+1+x²）
=（x+1）²（x-1）²（x²+x+1）²（x²-x+1）²；

（5）原式=（2x³-x²z）+（-4x²y+2xyz）+（2xy²-y²z）
=x²（2x-z）-2xy（2x-z）+y²（2x-z）
=（2x-z）（x²-2xy+y²）
=（2x-z）（x-y）²．
分析：（1）令a²+1=b，先把式子整理，可知是將一個三項式進行因式分解，考慮運用十字相乘法，再將b=a²+1回代，繼續(xù)分解即可；
（2）先將a²-9分解為（a-3）（a+3），把（a-3）與（2a+5）結合，（a+3）與（2a-7）結合，整理之后，運用十字相乘法分解；
（3）設x+y=a，xy=b，代入原式，先把式子整理，可知是將一個四項式進行因式分解，考慮運用分組分解法．此時b²+2b+1可組成完全平方公式，可把此三項分為一組，再運用平方差公式分解；
（4）令x⁴+1=a，先把式子整理，可知是將一個三項式進行因式分解，考慮運用十字相乘法，再將a=x⁴+1回代，繼續(xù)分解即可；
（5）可將一二項作為第一組，三四項作為第二組，五六項作為第三組，提取公因式2x-z以后，將余下的多項式運用完全平方公式繼續(xù)分解．
點評：本題考查了平方差公式，完全平方公式，十字相乘法，分組分解法分解因式．如果題目給出的不是一個多項式的形式，需要先把式子整理，再分解因式．本題屬于競賽題型，有一定難度．