Question

如圖，拋物線y＝x²＋bx＋c與x軸交于A(－1，0)，B(3，0)兩點．

(1)求b、c的值；

(2)P為拋物線上的點，且滿足S_△PAB＝8，求P點的坐標(biāo)；

(3)設(shè)拋物線交y軸于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最��？若存在，求出Q點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵拋物線y＝x2＋bx＋c與軸的兩個交點分別為A(－1，0)，B(3，0) 　　∴　　(2分) 　　解之，得　　(4分) 　　∴所求拋物線的解析式為：y＝x2－2x－3 　　(2)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)，由題意，得 　　S△ABC＝×4×|y|＝8　　(5分) 　　∴|y|＝4，∴y＝±4　　(6分) 　　當(dāng)y＝4時，x2－2x－3＝4　　∴x1＝1＋，x2＝1－　　(7分) 　　當(dāng)y＝－4時，x2－2x－3＝－4　∴x＝1　　(8分) 　　∴當(dāng)P點的坐標(biāo)分別為、、(1，－4)時，S△PAB＝8．　　(9分) 　　(3)解法1： 　　在拋物線y＝x2－2x－3的對稱軸上存在點Q，使得ΔQAC的周長最�。　�(10分) 　　∵AC長為定值，∴要使ΔQAC的周長最小，只需QA＋QC最小． 　　∵點A關(guān)于對稱軸x＝1的對稱點是B(3，0)， 　　∴由幾何知識可知，Q是直線BC與對稱軸x＝1的交點　　(11分) 　　拋物線y＝x2－2x－3與y軸交點C的坐標(biāo)為(0，－3)，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx－3． 　　∵直線BC過點B(3，0)　∴3k－3＝0　∴k＝1．　　(12分) 　　∴直線BC的解析式為y＝x－3　　(13分) 　　∴當(dāng)x＝1時，y＝－2．∴點Q的坐標(biāo)為(1，－2)．　　(14分) 　　(3)解法2： 　　在拋物線y＝x2－2x－3的對稱軸上存在點Q，使得ΔQAC的周長最�。　�(10分) 　　∵AC長為定值，∴要使ΔQAC的周長最小，只需QA＋QC最�。� 　　拋物線y＝x2－2x－3與y軸交點C的坐標(biāo)為(0，－3) 　　∴由幾何知識可知，Q是直線BC與對稱軸x＝1的交點．　　(11分) 　　∵OC∥DQ，∴ΔBDQ∽ΔBOC．　　(12分) 　　∴，即．∴DQ＝2．　　(13分) 　　∴點Q的坐標(biāo)為(1，－2)．　　(14分)