Question

如圖1，反比例函數(shù)y=過A（a，b）且|a+2|+（b-2）²=0
（1）求反比例函數(shù)解析式；

（2）如圖2，直線y=2x-2與x軸交于B，與y軸交于C，是否存在第二象限的點M，使線段BC繞M旋轉(zhuǎn)180°后恰好都落在反比例函數(shù)圖象的D點和E點，若存在，求D，E兩點坐標(biāo)，若不存在，說明理由；
（3）如圖3，反比例函數(shù)圖象上是否存在點P，使以PB為直徑的圓恰好過C點？若存在，求出直線PC的解析式和P點坐標(biāo)，若不存在，說明理由（下圖僅為示意圖）．

Answer 1

解：（1）∵|a+2|+（b-2）²=0
∴a+2=0或b-2=0
∴a=-2，b=2
∴k=-2×2=-12
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=-

（2）作EH⊥y軸，DG⊥y軸，EF⊥DG，垂足分別于點H、G、F
由旋轉(zhuǎn)可知∠DEC=∠ECB，∠FEC=∠ECG，DE=BC
∴∠DEF=∠BCO
∴△DEF≌△BCO
∴DF=OB，EF=OC
∵B、C是直線y=2x-2與x軸，y軸的交點．
∴OC=2，OB=1
∴DF=1，EF=2
設(shè)D（a，b），則E（a+1，b+2），∵兩點都在雙曲線上，
∴∵b＞0∴解得：
D（-3，4），E（-2，6）

（3）設(shè)P（a，b），由兩點間的距離公式得PB=，PC=
∵PB為直徑，△PCB為直角三角形，由勾股定理得：
5+a²+（b+2）²=（a-1）²+b²
∵ab=-12，∵b＞0
∴解得：
∴P（）
設(shè)直線PC的解析式為y=kx+b，由題意得：
解得：
∴直線PC的解析式為：y=-x-2
分析：（1）根據(jù)|a+2|+（b-2）²=0，可以求出a、b的值，從而得知A點的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出雙曲線的解析式．
（2）作EH⊥y軸，DG⊥y軸，EF⊥DG，垂足分別于點H、G、F，利用三角形全等及待定系數(shù)法求出D、E的坐標(biāo)．
（3）∵PC為直徑，△PCB為直角三角形，根據(jù)兩點間的距離公式可以表示出PC、PB的長，再根據(jù)勾股定理建立等式，設(shè)出P點的坐標(biāo)代入雙曲線的解析式與勾股定理建立的等式構(gòu)成方程組就可以求出P點的，利用待定系數(shù)法就可以求出直線PC的解析式．
點評：本題是一道反比例函數(shù)的綜合題，考查了非負數(shù)和為0定理，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，旋轉(zhuǎn)，勾股定理，圓周角定理、兩點間的距離公式等多個知識點，是一道綜合性較強的試題．