Question

（2013•義烏市）如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于點A（-1，0），頂點坐標為（1，n），與y軸的交點在（0，2）、（0，3）之間（包含端點），則下列結論：
①當x＞3時，y＜0；②3a+b＞0；③-1≤a≤-

2

3

；④3≤n≤4中，
正確的是（　�。�

A．①②

B．③④

C．①④

D．①③

Answer 1

分析：①由拋物線的對稱軸為直線x=1，一個交點A（-1，0），得到另一個交點坐標，利用圖象即可對于選項①作出判斷；
②根據拋物線開口方向判定a的符號，由對稱軸方程求得b與a的關系是b=-2a，將其代入（3a+b），并判定其符號；
③根據兩根之積

c

a

=-3，得到a=-

c

3

，然后根據c的取值范圍利用不等式的性質來求a的取值范圍；
④把頂點坐標代入函數解析式得到n=a+b+c=

4

3

c，利用c的取值范圍可以求得n的取值范圍．

解答：解：①∵拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于點A（-1，0），對稱軸直線是x=1，
∴該拋物線與x軸的另一個交點的坐標是（3，0），
∴根據圖示知，當x＞3時，y＜0．
故①正確；

②根據圖示知，拋物線開口方向向下，則a＜0．
∵對稱軸x=-

b

2a

=1，
∴b=-2a，
∴3a+b=3a-2a=a＜0，即3a+b＜0．
故②錯誤；

③∵拋物線與x軸的兩個交點坐標分別是（-1，0），（3，0），
∴-1×3=-3，
∴

c

a

=-3，則a=-

c

3

．
∵拋物線與y軸的交點在（0，2）、（0，3）之間（包含端點），
∴2≤c≤3，
∴-1≤-

c

3

≤-

2

3

，即-1≤a≤-

2

3

．
故③正確；

④根據題意知，a=-

c

3

，-

b

2a

=1，
∴b=-2a=

2c

3

，
∴n=a+b+c=

4

3

c．
∵2≤c≤3，
∴

8

3

≤

4

3

c≤4，即

8

3

≤n≤4．
故④錯誤．
綜上所述，正確的說法有①③．
故選D．

點評：本題考查了二次函數圖象與系數的關系．二次函數y=ax²+bx+c系數符號由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點拋物線與x軸交點的個數確定．