作业宝在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線經(jīng)過A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三點(diǎn).
(1)求拋物線解析式;
(2)若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,△MOA的面積為S.求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,并求出當(dāng)m為何值時(shí),S有最大值,這個(gè)最大值是多少?
(3)若點(diǎn)Q是直線y=-x上的動(dòng)點(diǎn),過Q做y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)P,判斷有幾個(gè)Q能使以點(diǎn)P,Q,B,O為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn),直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo).

解:(1)設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c,
∵拋物線經(jīng)過A(-4,0),B(0,-4),C(2,0),
,
解得,
∴拋物線解析式為y=x2+x-4;

(2)∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,
∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為m2+m-4,
又∵A(-4,0),
∴AO=0-(-4)=4,
∴S=×4×|m2+m-4|=-(m2+2m-8)=-m2-2m+8,
∵S=-(m2+2m-8)=-(m+1)2+9,點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn),
∴當(dāng)m=-1時(shí),S有最大值,最大值為S=9;
故答案為:S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式為S=-m2-2m+8,當(dāng)m=-1時(shí),S有最大值9;

(3)∵點(diǎn)Q是直線y=-x上的動(dòng)點(diǎn),
∴設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(a,-a),
∵點(diǎn)P在拋物線上,且PQ∥y軸,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,a2+a-4),
∴PQ=-a-(a2+a-4)=-a2-2a+4,
又∵OB=0-(-4)=4,
以點(diǎn)P,Q,B,O為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,
∴|PQ|=OB,
即|-a2-2a+4|=4,
①-a2-2a+4=4時(shí),整理得,a2+4a=0,
解得a=0(舍去)或a=-4,
-a=4,
所以點(diǎn)Q坐標(biāo)為(-4,4),
②-a2-2a+4=-4時(shí),整理得,a2+4a-16=0,
解得a=-2±2
所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-2+2,2-2)或(-2-2,2+2),
綜上所述,Q坐標(biāo)為(-4,4)或(-2+2,2-2)或(-2-2,2+2)時(shí),使點(diǎn)P,Q,B,O為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.
分析:(1)設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c,然后把點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,利用待定系數(shù)法求解即可;
(2)利用拋物線的解析式表示出點(diǎn)M的縱坐標(biāo),從而得到點(diǎn)M到x軸的距離,然后根據(jù)三角形面積公式表示并整理即可得解,根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出第三象限內(nèi)二次函數(shù)的最值,然后即可得解;
(3)利用直線與拋物線的解析式表示出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo),然后求出PQ的長度,再根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等列出算式,然后解關(guān)于x的一元二次方程即可得解.
點(diǎn)評(píng):本題是對(duì)二次函數(shù)的綜合考查,有待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,三角形的面積,二次函數(shù)的最值問題,平行四邊形的對(duì)邊相等的性質(zhì),平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離的表示,綜合性較強(qiáng),但難度不大,仔細(xì)分析便不難求解.
練習(xí)冊系列答案
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28、在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P到x軸的距離為8,到y(tǒng)軸的距離為6,且點(diǎn)P在第二象限,則點(diǎn)P坐標(biāo)為
(-6,8)

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10、在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P1(a,-3)與點(diǎn)P2(4,b)關(guān)于y軸對(duì)稱,則a+b=
-7

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在平面直角坐標(biāo)系中,有A(2,3)、B(3,2)兩點(diǎn).
(1)請?jiān)偬砑右稽c(diǎn)C,求出圖象經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系式.
(2)反思第(1)小問,考慮有沒有更簡捷的解題策略?請說出你的理由.

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如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,開口向下的拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn),D是拋物線的頂點(diǎn),O為精英家教網(wǎng)坐標(biāo)原點(diǎn).A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是方程x2-4x-12=0的兩根,且cos∠DAB=
2
2

(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)作AC⊥AD,AC交拋物線于點(diǎn)C,求點(diǎn)C的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)解析式;
(3)在(2)的條件下,在x軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使△APC的面積最大?如果存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和△APC的最大面積;如果不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

18、在平面直角坐標(biāo)系中,把一個(gè)圖形先繞著原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為θ,再以原點(diǎn)為位似中心,相似比為k得到一個(gè)新的圖形,我們把這個(gè)過程記為【θ,k】變換.例如,把圖中的△ABC先繞著原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為90°,再以原點(diǎn)為位似中心,相似比為2得到一個(gè)新的圖形△A1B1C1,可以把這個(gè)過程記為【90°,2】變換.
(1)在圖中畫出所有符合要求的△A1B1C1;
(2)若△OMN的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O(0,0)、M(2,4)、N(6,2),把△OMN經(jīng)過【θ,k】變換后得到△O′M′N′,若點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M′的坐標(biāo)為(-1,-2),則θ=
0°(或360°的整數(shù)倍)
,k=
2
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