Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，以HF為直徑的⊙O與AB、BC、CD、DA相切，切點(diǎn)分別是E、F、G、H，其中H為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，連結(jié)HG、GF．

(1)若HG和GF的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x²－6x＋k＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求⊙O的直徑HF(用含k的代數(shù)式表示)，并求出k的取值范圍．

(2)如圖，連結(jié)EG、DF，EG與HF交于點(diǎn)M，與DF交于點(diǎn)N，求的值．

Answer 1

答案：
解析：

�、佟逪F是⊙O的直徑，∴△HGF是Rt△ 　　∴HF2＝HG2＋GF2＝(HG＋GF)2－2HG×GF 　　由根與系數(shù)的關(guān)系：HG＋GF＝6；HG×GF＝k 　　∴HF2＝62－2k 　　∵HF＞0，∴HF＝ 　　∵方程x2－6x＋k＝0有兩根 　　∴△＝62－4k≥0 　　又k＝HG×GF≥0，且36－2k≥0 　　∴0≤k≤9 　�、凇逨是BC的中點(diǎn)，H是AD的中點(diǎn) 　　由切線(xiàn)長(zhǎng)定理得AE＝AH＝HD＝DG　　EB＝BF＝FC＝CG 　　∴AE∶EB＝DG∶GC 　　∴AD∥EG∥BC 　　∵AD⊥HF 　　∴GE⊥HF 　　設(shè)DG＝DH＝a，CG＝CF＝b 　　∴AD∥EG∥BC 　　∴NG∶FC＝DG∶DC；即MN∶b＝a∶(a＋b) 　　MN∶HD＝NF∶DF＝CG∶DC；即MN∶a＝b∶(a＋b) 　　∴NG＝MN 　　∴GN∶NE＝1∶3