精英家教網(wǎng) > 初中數(shù)學(xué) > 題目詳情
已知,如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E,G,H分別在正方形ABCD邊AB,CD,DA上,AH=2,連接CF.
(1)當(dāng)DG=2時(shí),求△FCG的面積;
(2)設(shè)DG=x,用含x的代數(shù)式表示△FCG的面積;
(3)判斷△FCG的面積能否等于1,并說(shuō)明理由.
【答案】分析:(1)要求△FCG的面積,可以轉(zhuǎn)化到面積易求的三角形中,通過(guò)證明△DGH≌△CFG得出.
(2)欲求△FCG的面積,由已知得CG的長(zhǎng)易求,只需求出GC邊的高,通過(guò)證明△AHE≌△MFG可得;
(3)若S△FCG=1,由S△FCG=6-x,得x=5,此時(shí),在△DGH中,HG=
.相應(yīng)地,在△AHE中,AE=
,即點(diǎn)E已經(jīng)不在邊AB上.故不可能有S△FCG=1.
解答:
解:(1)∵正方形ABCD中,AH=2,
∴DH=4,
∵DG=2,
∴HG=2
,即菱形EFGH的邊長(zhǎng)為2
.
在△AHE和△DGH中,
∵∠A=∠D=90°,AH=DG=2,EH=HG=2
,
∴△AHE≌△DGH(HL),
∴∠AHE=∠DGH,
∵∠DGH+∠DHG=90°,
∴∠DHG+∠AHE=90°,
∴∠GHE=90°,即菱形EFGH是正方形,
同理可以證明△DGH≌△CFG,
∴∠FCG=90°,即點(diǎn)F在BC邊上,同時(shí)可得CF=2,
從而S△FCG=
×4×2=4.(2分)
(2)作FM⊥DC,M為垂足,連接GE,
∵AB∥CD,
∴∠AEG=∠MGE,
∵HE∥GF,![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131022163313430753214/SYS201310221633134307532024_DA/images7.png)
∴∠HEG=∠FGE,
∴∠AEH=∠MGF.
在△AHE和△MFG中,∠A=∠M=90°,HE=FG,
∴△AHE≌△MFG,
∴FM=HA=2,
即無(wú)論菱形EFGH如何變化,點(diǎn)F到直線CD的距離始終為定值2.
因此S△FCG=
×2×(6-x)=6-x.(6分)
(3)若S△FCG=1,由S△FCG=6-x,得x=5,
此時(shí),在△DGH中,HG=
,
相應(yīng)地,在△AHE中,AE=
,即點(diǎn)E已經(jīng)不在邊AB上.
故不可能有S△FCG=1.(9分)
另法:由于點(diǎn)G在邊DC上,因此菱形的邊長(zhǎng)至少為DH=4,
當(dāng)菱形的邊長(zhǎng)為4時(shí),點(diǎn)E在AB邊上且滿足AE=2
,此時(shí),當(dāng)點(diǎn)E逐漸向右運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí),HE的長(zhǎng)(即菱形的邊長(zhǎng))將逐漸變大,最大值為HE=2
.
此時(shí),DG=2
,故0≤x≤2
.
而函數(shù)S△FCG=6-x的值隨著x的增大而減小,
因此,當(dāng)x=2
時(shí),S△FCG取得最小值為6-2
.
又因?yàn)?-2
=1,所以,△FCG的面積不可能等于1.(9分)
點(diǎn)評(píng):解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì).搞清楚菱形、正方形中的三角形的三邊關(guān)系,同時(shí)考查了全等三角形的判定和性質(zhì).
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已知:如圖,O正方形ABCD的中心,BE平分∠DBC,交DC于點(diǎn)E,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F,使CF=CE
,連接DF,交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接OG.
(1)求證:△BCE≌△DCF;
(2)OG與BF有什么數(shù)量關(guān)系?證明你的結(jié)論;
(3)若GE•GB=4-22
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已知,如圖在正方形OADC中,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,4),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0),CD的延長(zhǎng)線交雙曲線y=32 x
于點(diǎn)B.
(1)求直線AB的解析式;![精英家教網(wǎng)](http://thumb.zyjl.cn/pic3/upload/images/201112/37/3df28bd2.png)
![精英家教網(wǎng)](http://thumb.zyjl.cn/pic3/upload/images/201112/36/7364779c.png)
(2)G為x軸的負(fù)半軸上一點(diǎn)連接CG,過(guò)G作GE⊥CG交直線AB于E.求證CG=GE;
(3)在(2)的條件下,延長(zhǎng)DA交CE的延長(zhǎng)線于F,當(dāng)G在x的負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,請(qǐng)問(wèn)OG+GF DF
的值是否為定值,若是,請(qǐng)求出其值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明你的理由.
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24、已知,如圖:正方形ABCD,將Rt△EFG斜邊EG的中點(diǎn)與點(diǎn)A重合,直角頂點(diǎn)F落在正方形的AB邊上,Rt△EFG的兩直角邊分別交AB、AD邊于P、Q兩點(diǎn),(點(diǎn)P與點(diǎn)F重合),如圖所示:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic3/upload/images/200911/41/c0765eb1.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic3/upload/images/200911/41/712203c7.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic3/upload/images/200911/41/fc5a69f5.png)
(1)求證:EP2+GQ2=PQ2;
(2)若將Rt△EFG繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°<α≤90°),兩直角邊分別交AB、AD邊于P、Q兩點(diǎn),如圖2所示:判斷四條線段EP、PF、FQ、QG之間是否存在什么確定的相等關(guān)系?若存在,證明你的結(jié)論.若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)若將Rt△EFG繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(90°<α<180°),兩直角邊分別交AB、AD兩邊延長(zhǎng)線于P、Q兩點(diǎn),并判斷四條線段EP、PF、FQ、QG之間存在何種確定的相等關(guān)系?按題意完善圖3,請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論(不用證明).
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已知:如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a,H是以BC為直徑的半圓O上一點(diǎn),過(guò)H與圓O相切的直線交AB
于E,交CD于F.
(1)當(dāng)點(diǎn)H在半圓上移動(dòng)時(shí),切線EF在AB、CD上的兩個(gè)交點(diǎn)也分別在AB、CD上移動(dòng)(E、A不重合,F(xiàn)、D不重合),試問(wèn):四邊形AEFD的周長(zhǎng)是否也在變化?證明你的結(jié)論;
(2)設(shè)△BOE的面積為S1,△COF的面積為S2,正方形ABCD的面積為S,且S1+S2=13 48
S,求BE與CF的長(zhǎng).
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已知:如圖,正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)是4,點(diǎn)M、N分別在兩邊AB和CD上(其中點(diǎn)N不與點(diǎn)C重合),沿直線MN折疊該紙片,點(diǎn)B恰好落在AD邊上點(diǎn)E處.
(1)設(shè)AE=x,四邊形AMND的面積為 S,求 S關(guān)于x 的函數(shù)解析式,并指明該函數(shù)的定義域;
(2)當(dāng)AM為何值時(shí),四邊形AMND的面積最大?最大值是多少?
(3)點(diǎn)M能是AB邊上任意一點(diǎn)嗎?請(qǐng)求出AM的取值范圍.
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