Question

【題目】如圖，⊙O的直徑AC與弦BD相交于點F，點E是DB延長線上的一點，∠EAB＝∠ADB．

（1）求證：EA是⊙O的切線；

（2）已知點B是EF的中點，求證：以A、B、C為頂點的三角形與△AEF相似．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）連接CD，由AC是⊙O的直徑，可得出∠ADC=90°，由角的關系可得出∠EAC=90°，即可得出EA是⊙O的切線；

（2）連接BC，由AC是⊙O的直徑，可得出∠ABC=90°，由在Rt△EAF中，B是EF的中點，可得出∠BAC=∠AFE，即可得出△EAF∽△CBA．

（1）如圖1，連接CD．

∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC=90°，∴∠ADB+∠EDC=90°．

∵∠BAC=∠EDC，∠EAB=∠ADB，∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=90°，∴EA是⊙O的切線．

（2）如圖2，連接BC，

∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC=90°，∴∠CBA=∠EAF=90°．

∵B是EF的中點，∴在Rt△EAF中，AB=BF，∴∠BAC=∠AFE，∴△EAF∽△CBA．