Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y＝﹣x+4的圖象分別與x軸，y軸的正半軸交于點(diǎn)E、F，一次函數(shù)y＝kx﹣4的圖象與直線EF交于點(diǎn)A（m，2），且交于x軸于點(diǎn)P，

（1）求m的值及點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；

（2）求△APE的面積；

（3）若B點(diǎn)是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，問在直線EF上，是否存在點(diǎn)Q（Q與A不重合），使△BEQ與△APE全等？若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）m＝，E（3，0）；F（0，4）；（2）S△APE＝2；（3）Q1（，），Q2（，﹣），Q3（，﹣2）．

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)值，可得相應(yīng)自變量的值，根據(jù)自變量的值，可得相應(yīng)的函數(shù)值；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得AP的解析式，根據(jù)函數(shù)值為零，可得P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；
（3）分類討論：①當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)B為對應(yīng)頂點(diǎn)時(shí)，根據(jù)全等三角形的面積相等，可得Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)值，可得相應(yīng)自變量的值；②當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)Q為對應(yīng)頂點(diǎn)時(shí)，可得Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)值，可得相應(yīng)自變量的值．

解：（1）一次函數(shù)y＝﹣x+4的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（m，2），

得﹣m+4＝2，

解得m＝，

∵一次函數(shù)y＝﹣x+4的圖象分別與x軸、y軸的正半軸交于點(diǎn)E，F．

∴當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x+4＝0，解得x＝3即E（3，0）；

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，即F（0，4）；

（2）把點(diǎn)A（，2）一次函數(shù)y＝kx﹣4，得2＝k﹣4，解得k＝4，

y＝4x﹣4，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝1，即P（1，0）．

PE＝3﹣1＝2，

S△APE＝×2×2＝2；

（3）存在Q點(diǎn)，B點(diǎn)是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線y＝﹣x+4上的點(diǎn)，設(shè)Q（m，n）．

由兩點(diǎn)間的距離，得AE＝＝ ，AP＝＝，PE＝2．

①當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)B為對應(yīng)頂點(diǎn)時(shí)，

∵△APE≌△BQE，

∴S△BQE＝S△APE＝2，

∴BE×|n|＝2．

∵BE＝AE＝，

∴|n|＝，n＝±．

當(dāng)n＝時(shí)，﹣x+4＝，解得m＝，即Q1（，）；

當(dāng)n＝﹣時(shí)，﹣x+4＝﹣，解得m＝ ，即Q2（，﹣）；

②當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)Q為對應(yīng)頂點(diǎn)時(shí)，∵△APE≌△QBE，

則n＝﹣2，把n＝﹣2代入y＝﹣x+4得m＝ ，

∴Q3（，﹣2），

綜上所述：Q1（，），Q2（，﹣），Q3（，﹣2）．

故答案為：（1）m＝，E（3，0）；F（0，4）；（2）S△APE＝2；（3）Q1（，），Q2（，﹣），Q3（，﹣2）．