Question

【題目】如圖，在ABCD中，過A、B、C三點的⊙O交AD于點E，連接BE、CE，BE＝BC．

（1）求證：△BEC∽△CED；

（2）若BC＝10，DE＝3.6，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】(1)見解析； （2）

【解析】

（1）證明兩個等腰三角形相似，證明一個底角對應(yīng)相等即可；

（2）利用直徑構(gòu)造直角三角形，從而涉及到半徑（直徑），再利用垂徑定理即可解決問題．

（1）證明：∵BE＝BC，

∴∠BEC＝∠BCE

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AB∥CD．

∴∠BCE＝∠DEC，∠A+∠D＝180°．

∴∠BEC＝∠DEC

∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，

∴∠A+∠BCE＝180°．

∴∠BCE＝∠D

∴△BEC∽△CED

即得證．

（2）過點O作OF⊥CE，垂足為F，連接OC，如下圖．

∴CF＝CE，

∴直線OF垂直平分CE，

∵BE＝BC，

∴直線OF經(jīng)過點B，

∵△BEC∽△CED，又由（1）可知CE＝CD，

∴，

∵BC＝10，DE＝3.6，

∴CE＝CD＝6

∴CF＝CE＝3，

設(shè)⊙O的半徑為r，

可得BF＝，OF＝﹣r，

在Rt△OCF中，OF2+CF2＝OC2，

∴（﹣r）2+9＝r2

∴r＝，

即圓的半徑為．