Question

如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=2，BC=3，點P是AD邊上的一動點（P異于A、D），Q是BC邊上的任意一點. 連AQ、DQ，過P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F.

（1）求證：△APE∽△ADQ；

（2）設(shè)AP的長為x，試求△PEF的面積S_△PEF關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)P在何處時，S_△PEF取得最大值？最大值為多少？

（3）當(dāng)Q在何處時，△ADQ的周長最小？（須給出確定Q在何處的過程或方法，不必給出證明）

 

Answer 1

【答案】

（1）證∠APE=∠ADQ，∠AEP=∠AQD.

（2）注意到△APE∽△ADQ與△PDE∽△ADQ，及S_△PEF=，

得S_△PEF==.   ∴當(dāng)，即P是AD的中點時，S_△PEF取得最大值.

（3）作A關(guān)于直線BC的對稱點A′，連DA′交BC于Q，則這個點Q就是使△ADQ周長最小的點，此時Q是BC的中點.

【解析】（1）證得∠APE=∠ADQ，∠AEP=∠AQD，即可得到△APE∽△ADQ；

（2）先由△APE∽△ADQ與△PDE∽△ADQ，及S_△PEF=，

得S_△PEF==，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可結(jié)果；

（3）作A關(guān)于直線BC的對稱點A′，連DA′交BC于Q，則這個點Q就是使△ADQ周長最小的點，此時Q是BC的中點.