Question

【題目】問題提出學(xué)習(xí)了全等三角形的判定方法（“SSS”“SAS”“ASA”)后，我們繼續(xù)對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等”的情形進行研究.

初步思考：將問題用符號語言表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠ABC=∠DEF.然后對∠ABC進行分類，可分為“∠ABC是銳角、直角、鈍角”三種情況進行探究。

第一種情況：當∠ABC是銳角時，AB=DE不一定成立；

第二種情況：當∠ABC是直角時，根據(jù)“HL”，可得△ABC≌ΔDEF，則AB=DE；

第三種情況：當∠ADC是鈍角時，則AB=DE.

如圖，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠ABC=∠DEF，且∠ABC是鈍角，求證：AB=DE.

方法歸納化歸是一種有效的數(shù)學(xué)思維方式，一般是將未解決的問題通過交換轉(zhuǎn)化為已解決的問題.觀群發(fā)現(xiàn)第三種情況可以轉(zhuǎn)化為第二種情況，如圖，過點C作CG⊥AB交廷長線于點G.

(1)在ΔDEF中用尺規(guī)作出DE邊上的高FH，不寫作法，保留作圖痕跡；

(2)請你完成(1)中作圖的基礎(chǔ)上，加以證明AB=DE.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）尺規(guī)作圖作FH⊥DE交DE延長線于H即可；

（2）先證明ΔBCG≌ΔEFH,得到BG=EH，再證明RtΔACG≌RtΔDFH,得到AG=DH,然后可得AB=DE.

解：(1)作出高FH，如圖所示：

（2）

∵,

∴,

又∵CG⊥AG，FH⊥DH,

∴,

又∵BC=EF,

∴ΔBCG≌ΔEFH,

∴BG=EH，CG=FH,

又∵AC=DF,

∴RtΔACG≌RtΔDFH,

∴AG=DH,

又∵BG=EH,

∴AB=DE.