對(duì)于平面直角坐標(biāo)系O
中的點(diǎn)P和⊙C,給出如下定義:若⊙C上存在兩個(gè)點(diǎn)A,B,使得∠APB=60°,則稱P為⊙C 的關(guān)聯(lián)點(diǎn)。
已知點(diǎn)D(,
),E(0,-2),F(xiàn)(
,0)
(1)當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí),
①在點(diǎn)D,E,F(xiàn)中,⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是__________;
②過(guò)點(diǎn)F作直線交軸正半軸于點(diǎn)G,使∠GFO=30°,若直線上的點(diǎn)P(
,
)是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn),求
的取值范圍;
(2)若線段EF上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn),求這個(gè)圓的半徑的取值范圍。
解析:【解析】(1) ①;
② 由題意可知,若點(diǎn)要?jiǎng)偤檬菆A
的關(guān)聯(lián)點(diǎn);
需要點(diǎn)到圓
的兩條切線
和
之間所夾
的角度為;
由圖可知
,則
,
連接,則
;
∴若點(diǎn)為圓
的關(guān)聯(lián)點(diǎn);則需點(diǎn)
到圓心的距離
滿足
;
由上述證明可知,考慮臨界位置的點(diǎn),如圖2;
點(diǎn)到原點(diǎn)的距離
;
過(guò)作
軸的垂線
,垂足為
;
;
∴;
∴;
∴;
∴;
易得點(diǎn)與點(diǎn)
重合,過(guò)
作
軸于點(diǎn)
;
易得;
∴;
從而若點(diǎn)為圓
的關(guān)聯(lián)點(diǎn),則
點(diǎn)必在線段
上;
∴;
(2) 若線段上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn),欲使這個(gè)圓的半徑最小,
則這個(gè)圓的圓心應(yīng)在線段的中點(diǎn);
考慮臨界情況,如圖3;
即恰好點(diǎn)為圓
的關(guān)聯(lián)時(shí),則
;
∴此時(shí);
故若線段上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn),
這個(gè)圓的半徑的取值范圍為
.
【點(diǎn)評(píng)】“新定義”問題最關(guān)鍵的是要能夠把“新定義”轉(zhuǎn)化為自己熟悉的知識(shí),通過(guò)第(2)問開
頭部分的解析,可以看出本題的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”本質(zhì)就是到圓心的距離小于或等于倍半
徑的點(diǎn).
了解了這一點(diǎn),在結(jié)合平面直角坐標(biāo)系和圓的知識(shí)去解答就事半功倍了.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013年初中畢業(yè)升學(xué)考試(北京卷)數(shù)學(xué)(解析版) 題型:解答題
對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和⊙C,給出如下定義:若⊙C上存在兩個(gè)點(diǎn)A,B,使得∠APB=60°,則稱P為⊙C 的關(guān)聯(lián)點(diǎn)。已知點(diǎn)D(,
),E(0,-2),F(xiàn)(
,0)
(1)當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí),
①在點(diǎn)D,E,F(xiàn)中,⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是 ;
②過(guò)點(diǎn)F作直線交y軸正半軸于點(diǎn)G,使∠GFO=30°,若直線上的點(diǎn)P(m,n)是⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn),求m的取值范圍;
(2)若線段EF上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn),求這個(gè)圓的半徑r的取值范圍。
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