Question

如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，聯(lián)結(jié)BE，∠ABE = 30°，BE = DE，聯(lián)結(jié)BD．點(diǎn)M為線段DE上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN // BD，與BE相交于點(diǎn)N．

（1）如果，求邊AD的長；

（2）如圖1，在（1）的條件下，如果點(diǎn)M為線段DE的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CN．過點(diǎn)M作MF⊥CN，垂足為點(diǎn)F，求線段MF的長；

（3）試判斷BE、MN、MD這三條線段的長度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論．

 

Answer 1

解：（1）由矩形ABCD，得  AB = CD，∠A =∠ADC = 90°．

在Rt△ABE中，∵  ∠ABE = 30°，，

∴  ，BE = 2AE = 4．

又∵  BE = DE，∴  DE = 4．

于是，由  AD = AE +DE，得  AD = 6．

（2）聯(lián)結(jié)CM．

在Rt△ABD中，．

∴  BD = 2AB，即得  ∠ADB = 30°．

∵  MN // BD，∴  ∠AMN =∠ADB = 30°．

又∵  MN // BD，點(diǎn)M為線段DE的中點(diǎn)，

∴  DM = EM = 2，．

∴  ．

在Rt△CDM中，．

∴  ∠CMD = 60°，即得  CM = 4，∠CMN = 90°．

由勾股定理，得  ．

于是，由  MF⊥CN，∠CMN = 90°，

得  ．

（3）． 證明如下：過點(diǎn)E作EF⊥BD，垂足為點(diǎn)F．

∵  BE = DE，EF⊥BD，∴  BD = 2DF．

在Rt△DEF中，由  ∠EDB = 30°，

得  ，即得  ．

∵  MN // BD，

∴  ，，即得  ，BN = DM．

∴  ．

于是，由  BE = BN +EN，得  ．