Question

如圖，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，將△DEF與△ABC重合在一起，△ABC不動(dòng)，△ABC不動(dòng)，△DEF運(yùn)動(dòng)，并滿足：點(diǎn)E在邊BC上沿B到C的方向運(yùn)動(dòng)，且DE、始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，EF與AC交于M點(diǎn)．

（1）求證：△ABE∽△ECM；

（2）探究：在△DEF運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，重疊部分能否構(gòu)成等腰三角形？若能，求出BE的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）當(dāng)線段AM最短時(shí)，求重疊部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理。

解答：（1）證明：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵△ABC≌△DEF，

∴∠AEF=∠B，

又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，

∴∠CEM=∠BAE，

∴△ABE∽△ECM；

（2）解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，

∴∠AME＞∠AEF，

∴AE≠AM；

當(dāng)AE=EM時(shí)，則△ABE≌△ECM，

∴CE=AB=5，

∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1，

當(dāng)AM=EM時(shí)，則∠MAE=∠MEA，

∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，

即∠CAB=∠CEA，

又∵∠C=∠C，

∴△CAE∽△CBA，

∴，

∴CE=，

∴BE=6﹣=；

（3）解：設(shè)BE=x，

又∵△ABE∽△ECM，

∴，

即：，

∴CM=﹣+x=﹣（x﹣3）²+，

∴AM=﹣5﹣CM═（x﹣3）²+，

∴當(dāng)x=3時(shí)，AM最短為，

又∵當(dāng)BE=x=3=BC時(shí)，

∴點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，

∴AE⊥BC，

∴AE==4，

此時(shí)，EF⊥AC，

∴EM==，

S_△AEM=．