如圖,AB經(jīng)過⊙O的圓心,弦DF⊥AB于E,BF切⊙O于F,⊙O的半徑為2.
(1)求證:BD與⊙O相切;
(2)若∠ABD=∠DFC,求DF的長.

【答案】分析:(1)連接OD,OF,根據(jù)BF切⊙O于點F,得出∠OFB=90°,再根據(jù)弦DF⊥AB于E,且AB經(jīng)過圓心O,得出∠1=∠BFD,最后根據(jù)OD=OF,∠3=∠4,得出∠ODB=∠OFB=90°即可;
(2)根據(jù)(1)得∠3=∠5,根據(jù)∠2=∠5,得出∠2=∠3,再根據(jù)∠6=2∠2,得出∠6=2∠3,再根據(jù)∠6+∠3=90°,求出∠3的度數(shù),最后根據(jù)⊙O的半徑為2,即可求出DF的長.
解答:(1)證明:連接OD,OF.
∵BF切⊙O于點F,
∴∠OFB=90°,
∵弦DF⊥AB于E,且AB經(jīng)過圓心O,
∴DE=EF,
∴BD=BF.
∴∠1=∠BFD.
∵OD=OF,
∴∠3=∠4,
∴∠ODB=∠OFB=90°,
∴BD與⊙O相切;

(2)解:由(1)可知∠3=∠5,
∵∠2=∠5,
∴∠2=∠3.
又∵∠6=2∠2,
∴∠6=2∠3.
∵∠6+∠3=90°,
∴3∠3=90°.
∴∠3=30°,
∵OD=2,
∴DE=,
∴DF=2
點評:此題考查了切線的判定與性質(zhì),用到的知識點是垂徑定理,圓心角與圓周角之間的關(guān)系,圓的有關(guān)性質(zhì)等,解題的關(guān)鍵是證出∠ODB=∠OFB=90°,難度適中.
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已知:如圖弦AB經(jīng)過⊙O的半徑OC的中點P,且AP=2,PB=3,則是⊙O的半徑等于(  )
A.
2
B.
6
C.2
2
D.2
6
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如圖,AB經(jīng)過⊙O的圓心,弦DF⊥AB于E,BF切⊙O于F,⊙O的半徑為2.
(1)求證:BD與⊙O相切;
(2)若∠ABD=∠DFC,求DF的長.

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