Question

如圖，已知△ABC，AB=AC，∠A=36°，∠ABC的平分線(xiàn)BD交AC于點(diǎn)D，
（1）求證：AD=BD=BC．
（2）若AB=1，求AD的長(zhǎng)．（結(jié)果保留根號(hào)）
（3）求cos36°的值．（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

分析：（1）由△ABC，AB=AC，∠A=36°，∠ABC的平分線(xiàn)BD交AC于點(diǎn)D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)與三角形內(nèi)角和定理，即可求得各角的度數(shù)，繼而證得AD=BD=BC．
（2）易證得△CBD∽△CAB，然后設(shè)AD=x，則BC=x，CD=1-x，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得AD的長(zhǎng)．
（3）首先作DE⊥AB，垂足為E，可得AE=

1

2

AB，在Rt△ADE中，cos∠A=cos36°=

AE

AD

，即可求得答案．

解答：（1）證明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴∠A=∠ABD，
∴AD=BD，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴∠C=∠BDC，
∴BD=BC，
∴AD=BD=BC；

（2）解：∵∠A=∠CBD，∠C=∠C，
∴△CBD∽△CAB，
∴

CB

CA

=

CD

CB

，
∴CB²=CA•CD，
設(shè)AD=x，則BC=x，CD=1-x，
∴x²=1-x，
解得：x₁=

5 -1

2

，x₂=

- 5 -1

2

（不合題意，舍去），
∴AD=

5 -1

2

；

（3）解：作DE⊥AB，垂足為E，
∵AD=BD，DE⊥AB，
∴AE=

1

2

AB=

1

2

；
在Rt△ADE中，cos∠A=cos36°=

AE

AD

=

1 2

5 -1 2

=

5 +1

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題難度適中，注意掌握輔助線(xiàn)的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．