Question

已知拋物線y＝x2＋(2n－1)x＋n2－1(n為常數(shù))． (1) 當(dāng)該拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點，并且頂點在第四象限時，求出它所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式； (2) 設(shè)A是(1)所確定的拋物線上位于x軸下方且在對稱軸左側(cè)的一個動點，過A作x軸的平行線，交拋物線于另一點D，再作AB⊥x軸于B，DC⊥x軸于C． ①當(dāng)BC＝1時，求矩形ABCD的周長； ②試問矩形ABCD的周長是否存在最大值?如果存在，請求出這個最大值，并指出此時A點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)

由已知條件，得n2－1＝0，解這個方程，得n1＝1，n2＝－1．當(dāng)n＝1時，得y＝x2＋x，此拋物線的頂點不在第四象限；當(dāng)n＝－1時，得y＝x2－3x，此拋物線的頂點在第四象限．所以拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y＝x2－3x．

(2)

解：由y＝x2－3x，令y＝0，得x2－3x＝0，解得xl＝0，x2＝3，所以拋物線與x軸的另一個交點為(3，0)，所以它的頂點為，對稱軸為直線x＝，其大致位置如圖所示． 　�、僖驗锽C＝1，由拋物線和矩形的對稱性易知OB＝×(3－1)＝1，所以B(1，0)，所以點A的橫坐標(biāo)x＝1，又因為點A在拋物線y＝x2－3x上，所以點A的縱坐標(biāo)y＝12－3×1＝－2，所以AB＝｜y｜＝｜－2｜＝2，所以矩形ABCD的周長為2(AB＋BC)＝2×(2＋1)＝6． 　�、谝驗辄cA在拋物線y＝x2－3x上，故可設(shè)A點的坐標(biāo)為(x，x2－3x)，所以B點的坐標(biāo)為(x，0)(0＜x＜)，所以BC＝3－2x，A在x軸下方，所以x2－3x＜0，所以AB＝｜x2－3x｜＝3x－x2，所以矩形ABCD的周長P＝2[(3x－x2)＋(3－2x)]＝－2(x－)2＋．因為a＝－2＜0，所以當(dāng)x＝時，矩形ABCD的周長P的最大值為． 　　解題指導(dǎo)：(1)拋物線經(jīng)過原點，則可將點(0，0)代人函數(shù)表達(dá)式；再根據(jù)頂點在第四象限則可確定函數(shù)的表達(dá)式． 　　(2)將矩形ABCD的周長表示出來，再根據(jù)其特點求出最大值．