Question

已知拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過原點，且在x軸的正半軸上截得的線段長為4，對稱軸為直線x=m．過點A的直線繞點A（m，0）旋轉(zhuǎn)，交拋物線于點B（x，y），交y軸負半軸于點C，過點C且平行于x軸的直線與直線x=m交于點D，設△AOB的面積為S₁，△ABD的面積為S₂．
（1）求這條拋物線的頂點的坐標；
（2）判斷S₁與S₂的大小關系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）∵拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過原點，且在x軸的正半軸上截得的線段的長為4，
∴c=0，A（2，0），圖象與x軸的另一個交點E的坐標為（4，0），對稱軸為直線x=2．
∴拋物線為y=x²+bx經(jīng)過點E（4，0）．
∴b=-4，∴y=x²-4x．
∴頂點坐標為（2，-4）．
答：這條拋物線的頂點的坐標是（2，-4）．

（2）答：S₁與S₂的大小關系是S₁=S₂．
證明：設經(jīng)過點A（2，0）的直線為y=kx+b（k≠0），
∴0=2k+b．∴k=-

1

2

b，
∴y=-

b

2

x+b，
∴點B₁的坐標為（x₁，-

b

2

x+b），
點B₂的坐標為（x₂，-

b

2

x+b），
當交點為B₁時，
S₁=

1

2

×2×|-

b

2

x₁+b|=b-

b

2

x₁，
S₂=

1

2

×|b|×|2-x₁|=b-

b

2

x₁，
∴S₁=S₂，
當交點為B₂時，
S₁=

1

2

×2×|-

b

2

x₂+b|=-

b

2

x₂+b，
S₂=

1

2

×|b|×|x₂-2|=-

b

2

x₂+b，
∴S₁=S₂，
綜上所述，S₁=S₂．