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如圖，ABCD是矩形紙片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上．設F、H分別是B、D落在AC上的點，E、G分別是折痕CE與AB、AG與CD的交點．

（1）試說明四邊形AECG是平行四邊形；

（2）若矩形的一邊AB的長為3cm，當BC的長為多少時，四邊形AECG是菱形?

 

【答案】

（1）說明詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：本題考查的知識點較多，有矩形的性質、勾股定理、平行四邊形的性質、菱形的性質、翻折變換（軸對稱）等知識點.靈活掌握和應用這些性質、定理是解題的關鍵.

因為對折，所以 ,，又,可得AG//CE,即可得出四邊形AECG是平行四邊形.

由菱形的定義之可知F，H兩點重合，可得出AC=2BC,由此可計算邊BC的長.

試題解析：

解：（1）由題意，得∠GAH=∠DAC, ∠ECF=∠BCA（1分）

∵四邊形ABCD為矩形

∴AD∥BC

∴∠DAC＝∠BCA

∴∠GAH=∠ECF

∴AG∥CE（2分）

又∵AE∥CG

∴四邊形AECG是平行四邊形.

∵四邊形AECG是菱形

∴F、H重合

∴AC＝2BC（4分）

在Rt△ABC中,設BC＝x,則AC＝2x

在Rt△ABC中

即，

解得x＝，(x=舍去）

即線段BC的長為cm.

考點：1、平行四邊形的判定.2、菱形的性質.3、勾股定理.

 

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如圖，ABCD是矩形紙片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上．設F、H分別是B、D落在AC上的兩點，E、G分別是折痕CE、AG與AB、CD的交點．求證：四邊形AECG是平行四邊形．

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如圖，ABCD是矩形紙片，翻折∠B、∠D使BC邊、AD邊恰好落在AC上．設F、H分別是B、D落在AC上的兩點，E、G分別是折痕CE、AG與AB、CD的交點．
（1）請根據題意，利用尺規(guī)作圖作出點F、H及折痕CE、AG；
（2）順次連接G、F、E、H，試確定四邊形GFEH的形狀，并說明理由．

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（2009•鄭州模擬）如圖，ABCD是矩形紙片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上．設F、H分別是B、D落在AC上的兩點，E、G分別是折痕CE、AG與AB、CD的交點．
（1）求證：四邊形AECG是平行四邊形：
（2）若AB=8cm，BC=6cm，求線段EF的長．

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