Question

在△ABC中，∠A＝90°，點(diǎn)D在線段BC上，∠EDB＝∠C，BE⊥DE，垂足為E，DE與AB相交于點(diǎn)F．

(1)當(dāng)AB＝AC時(shí)，(如圖1)，

①∠EBF＝________°；

②探究線段BE與FD的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

(2)當(dāng)AB＝kAC時(shí)(如圖2)，求的值(用含k的式子表示)．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)①根據(jù)題意可判斷△ABC為等腰直角三角形，據(jù)此即可推斷∠C＝45°，進(jìn)而可知∠EDB＝22.5°．然后求出∠EBF的度數(shù)． 　�、诟鶕�(jù)題意證明△BEF∽△DEB，然后利用相似三角形的性質(zhì)，得到BE與FD的數(shù)量關(guān)系． 　　(2)作∠ACB的平分線，得到∠C的正切值，然后證明△BEF∽△DEB，利用三角形相似的性質(zhì)得到BE與FD的數(shù)量關(guān)系． 　　解答：解：(1)①∵AB＝AC∠A＝90° 　　∴∠ABC＝∠C＝45° 　　∵∠EDB＝∠C 　　∴∠EDB＝22.5° 　　∵BE⊥DE 　　∴∠EBD＝67.5° 　　∴∠EBF＝67.5°－45°＝22.5° 　�、谠凇鰾EF和△DEB中 　　∵∠E＝∠E＝90° 　　∠EBF＝∠EDB＝22.5° 　　∴△BEF∽△DEB 　　如圖： 　　BG平分∠ABC， 　　∴BG＝GD△BEG是等腰直角三角形 　　設(shè)EF＝x，BE＝y(tǒng)， 　　則：BG＝GD＝y 　　FD＝y＋y－x 　　∵△BEF∽△DEB 　　∴＝ 　　即：＝ 　　得：x＝(－1)y 　　∴FD＝y＋y－(－1)y＝2y 　　∴FD＝2BE． 　　(2)如圖： 　　作∠ACB的平分線CG，交AB于點(diǎn)G， 　　∵AB＝kAC 　　∴設(shè)AC＝b，AB＝kb，BC＝b 　　利用角平分線的性質(zhì)有： 　　＝ 　　即：＝ 　　得：AG＝ 　　∵∠EDB＝∠ACB 　　∴tan∠EDB＝tan∠ACG＝ 　　∵∠EDB＝∠ACB 　　∠ABC＝90°－∠ACB 　　∴∠EBF＝90°－∠ABC－∠EDB＝∠ACB 　　∴△BEF∽△DEB 　　∴EF＝BE 　　ED＝BE＝EF＋FD 　　∴FD＝BE－BE＝BE． 　　∴＝． 　　點(diǎn)評：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，(1)利用等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行判定和計(jì)算．(2)結(jié)合圖形利用三角函數(shù)和相似三角形進(jìn)行計(jì)算求出線段間的關(guān)系．

提示：

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；等腰直角三角形．