Question

已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A（-1，0）和點B（3，0），且與直線y=kx-4交y軸于點C．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）如果直線y=kx-4經過二次函數(shù)的頂點D，且與x軸交于點E，△AEC的面積與△BCD的面積是否相等？如果相等，請給出證明；如果不相等，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）直線y=kx-4中令x=0，解得y=-4，因而直線與y軸的交點坐標是（0，-4），根據(jù)待定系數(shù)法就可以求二次函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)公式可以求出拋物線的頂點坐標，把頂點坐標代入函數(shù)y=kx-4就可以求出k的值．

解答：解：（1）在直線y=kx-4中令x=0，
解得y=-4，
因而直線與y軸的交點坐標是（0，-4），
設二次函數(shù)的解析式是y=ax²+bx+c．
根據(jù)題意得到：

a-b+c=0 9a+3b+c= c=-4

0
解得：

a= 4 3 b= 8 3 c=-4

．
則函數(shù)解析式是y=

4

3

x²-

8

3

x-4．
（2）拋物線的頂點D的坐標是（1，-

16

3

），把（1，-

16

3

）代入y=kx-4得到，
解得k=-

4

3

．
則函數(shù)的解析式是y=-

4

3

x-4，在解析式中令y=0，
解得x=-3，則E點的坐標是（-3，0）．
則AE=2，△ACE的面積是

1

2

×2×4=4；
過點D作DG⊥y軸與點G，則梯形OGDB的面積是

1

2

×（1+3）×

16

3

=

32

3

；
△CGD的面積是

1

2

×1×

4

3

=

2

3

；
△OBC的面積是

1

2

×3×4=6．
則△BCD的面積=梯形OGDB的面積-△CGD的面積-△OBC的面積=4，
因而，△AEC的面積與△BCD的面積相等．

點評：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，是函數(shù)與三角形，梯形相結合的題目．