Question

如圖，平行四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別在AB、BC、CD、AD邊上且AE=CG，AH=CF．

(1)    求證：四邊形EFGH是平行四邊形；

(2)    如果AB=AD，且AH=AE，

求證：四邊形EFGH是矩形．

Answer 1

證明：在平行四邊形ABCD中，∠A=∠C，

又∵AE=CG，AH=CF，

∴△AEH≌△CGF． 

∴．

在平行四邊形ABCD中，AB=CD，AD=BC，

∴，，

即，．

又∵在平行四邊形ABCD中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH．

∴． 

∴四邊形EFGH是平行四邊形

（2）解法一：在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=CD．

設，則．

∵AE=AH，∴∠AHE=∠AEH=．∵AD=AB=CD，AH = AE = CG，

∴，即．∴∠DHG=∠DGH=．

∴∠EHG=∠AHE．

又∵四邊形EFGH是平行四邊形，

∴四邊形EFGH是矩形．

解法二：聯(lián)結BD，AC．

∵AH=AE，AD = AB，

∴，∴HE∥BD，

同理可證，GH∥AC，

∵四邊形ABCD是平行四邊形且AB=AD，

∴平行四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，∴∠EHG．

又∵四邊形EFGH是平行四邊形，

∴四邊形EFGH是矩形．