Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，己知點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，并且，動(dòng)點(diǎn)在過(guò)三點(diǎn)的拋物線上．

（1）求拋物線的解析式．

（2）作垂直軸的直線，在第一象限交直線于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，求當(dāng)線段的長(zhǎng)有最大值時(shí)的坐標(biāo)．并求出最大值是多少．

（3）在軸上是否存在點(diǎn)，使得△是等腰三角形?若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，最大值為4，此時(shí)的坐標(biāo)為；（3）存在，或或或

【解析】

（1）先確定A（4，0），B（-1，0），再設(shè)交點(diǎn)式y=a（x+1）（x-4），然后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可；

（2）作PE⊥x軸，交AC于D，垂足為E，如圖，易得直線AC的解析式為y=-x+4，設(shè)P（x，-x2+3x+4）（0＜x＜4），則D（x，-x+4），再用x表示出PD，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題；

（3）先計(jì)算出AC=4，再分類討論：當(dāng)QA=QC時(shí)，易得Q（0，0）；當(dāng)CQ=CA時(shí)，利用點(diǎn)Q與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱得到Q點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)AQ=AC=4時(shí)可直接寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

（1）∵C（0，4），

∴OC=4，

∵OA=OC=4OB，

∴OA=4，OB=1，

∴A（4，0），B（-1，0），

設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-4），

把C（0，4）代入得a×1×（-4）=4，解得a=-1，

∴拋物線解析式為y=-（x+1）（x-4），

即y=-x2+3x+4；

（2）作PE⊥x軸，交AC于D，垂足為E，如圖，

設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，

∵A（4，0），C（0，4）

∴

解得，

∴直線AC的解析式為y=-x+4，

設(shè)P（x，-x2+3x+4）（0＜x＜4），則D（x，-x+4），

∴PD=-x2+3x+4-（-x+4）=-x2+4x=-（x-2）2+4，

當(dāng)x=2時(shí)，PD有最大值，最大值為4，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，6）；

（3）存在．

∵OA=OC=4，

∴AC=4，

∴當(dāng)QA=QC時(shí)，Q點(diǎn)在原點(diǎn)，即Q（0，0）；

當(dāng)CQ=CA時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，則Q（-4，0）；

當(dāng)AQ=AC=4時(shí)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)（4+4，0）或（4-4，0），

綜上所述，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0）或（-4，0）或（4+4，0）或（4-4，0）．