Question

．如圖，點A是⊙O上一點，OA⊥AB，且OA=1，AB=，OB交⊙O于點D，作AC⊥OB，垂足為M，并交⊙O于點C，連接BC．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）過點B作BP⊥OB，交OA的延長線于點P，連接PD，求sin∠BPD的值．

Answer 1

【考點】切線的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；垂徑定理．

【專題】證明題．

【分析】（1）連結(jié)OC，根據(jù)垂徑定理由AC⊥OB得AM=CM，于是可判斷OB為線段AC的垂直平分線，所以BA=BC，然后利用“SSS”證明△OAB≌△OCB，得到∠OAB=∠OCB，由于∠OAB=90°，則∠OCB=90°，于是可根據(jù)切線的判定定理得BC是⊙O的切線；

（2）在Rt△OAB中，根據(jù)勾股定理計算出OB=2，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得∠ABO=30°，∠AOB=60°，在Rt△PBO中，由∠BPO=30°得到PB=OB=2；在Rt△PBD中，BD=OB﹣OD=1，根據(jù)勾股定理計算出PD=，然后利用正弦的定義求sin∠BPD的值．

【解答】（1）證明：連結(jié)OC，如圖，

∵AC⊥OB，

∴AM=CM，

∴OB為線段AC的垂直平分線，

∴BA=BC，

在△OAB和△OCB中

，

∴△OAB≌△OCB（SSS），

∴∠OAB=∠OCB，

∵OA⊥AB，

∴∠OAB=90°，

∴∠OCB=90°，

∴OC⊥BC，

故BC是⊙O的切線；

（2）解：在Rt△OAB中，OA=1，AB=，

∴OB==2，

∴∠ABO=30°，∠AOB=60°，

∵PB⊥OB，

∴∠PBO=90°，∠BPO=30°，

在Rt△PBO中，OB=2，

∴PB=OB=2，

在Rt△PBD中，BD=OB﹣OD=2﹣1=1，PB=2，

∴PD==，

∴sin∠BPD===．

【點評】本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了垂徑定理、勾股定理和全等三角形的判定與性質(zhì)．