Question

【題目】已知：AC是菱形ABCD的對角線，且AC=BC．

(1)如圖①，點P是△ABC的一個動點，將△ABP繞著點B旋轉(zhuǎn)得到△CBE．

①求證：△PBE是等邊三角形；

②若BC=5，CE=4，PC=3，求∠PCE的度數(shù)；

(2)連結(jié)BD交AC于點O，點E在OD上且DE=3，AD=4，點G是△ADE內(nèi)的一個動點如圖②，連結(jié)AG，EG，DG，求AG+EG+DG的最小值．

Answer 1

【答案】（1）①見解析，②∠PCE=30°；（2）AG+EG+DG的最小值為5．

【解析】

(1)①先判斷出△ABC等邊三角形，得出∠ABC=60°，再由旋轉(zhuǎn)知BP=BE，∠PBE=∠ABC=60°，即可得出結(jié)論．

②先用勾股定理的逆定理判斷出△ACP是直角三角形，得出∠APC=90°，進而判斷出∠PBE+∠PCE=90°，即可得出結(jié)論；

(2)先判斷出△G'DG是等邊三角形，得出GG'=DG，即：AG+EG+DG=A'G'+EG+GG'得出當A'、G'、G、E四點共線時，A'G'+EG+G'G的值最小，即可得出結(jié)論．

解：(1)①∵四邊形ABCD是菱形

∴AB=BC，

∵AC=BC，

∴AB=BC=AC，

∴△ABC等邊三角形，

∴∠ABC=60°，

由旋轉(zhuǎn)知BP=BE，∠CBE=∠ABP

∴∠CBE＋∠PBC=∠ABP＋∠PBC

∴∠PBE=∠ABC=60°，

∴△PBE是等邊三角形；

②由①知AB=BC=5

∵由旋轉(zhuǎn)知△ABP≌△CBE，

∴AP=CE=4，∠APB=∠BEC，

∵AP2+PC2=42+32=25=AC2，

∴△ACP是直角三角形，

∴∠APC=90°，

∴∠APB+∠BPC=270°，

∵∠APB=∠CEB，

∴∠CEB+∠BPC=270°，

∴∠PBE+∠PCE=360°－（∠CEB+∠BPC）=90°，

∵∠PBE=∠ABC=60°，

∴∠PCE=90°-60°=30°；

(2)如圖，將△ADG繞著點D順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'DG'，

由旋轉(zhuǎn)知△ADG≌△A'DG'，

∴A'D=AD=4，G'D=GD，A'G'=AG，

∵∠G'DG=60°，G'D=GD，

∴△G'DG是等邊三角形，

∴GG'=DG，

∴AG+EG+DG=A'G'+EG+GG'

∵當A'、G'、G、E四點共線時，A'G'+EG+G'G的值最小，

即AG+EG+DG的值最小，

∵∠A'DA=60°，∠ADE=∠ADC=30°，

∴∠A'DE=90°，

∴AG+EG+DG=A'G'+EG+G'G=A'E==5，

∴AG+EG+DG的最小值為5．