Question

（2010•連云港）如果一條直線把一個平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱為這個平面圖形的一條面積等分線，例如平行四邊形的一條對角線所在的直線就是平行四邊形的一條面積等分線．
（1）三角形的中線、高線、角平分線分別所在的直線一定是三角形的面積等分線的有______；
（2）如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延長DC到E，使CE=AB，連接AE，那么有S_梯形ABCD=S_△ADE．請你給出這個結論成立的理由，并過點A作出梯形ABCD的面積等分線（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（3）如圖，四邊形ABCD中，AB與CD不平行，S_△ADC＞S_△ABC，過點A能否作出四邊形ABCD的面積等分線？若能，請畫出面積等分線，并給出證明；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）讀懂面積等分線的定義，不難得出：一定是三角形的面積等分線的是三角形的中線所在的直線；
（2）根據等底等高可得S_△ABC=S_△AEC，即可證明S_梯形ABCD=S_△ACD+S_△ABC=S_△ACD+S_△AEC=S_△AED；過點A的梯形ABCD的面積等分線的畫法，可以先作DE的垂直平分線，找到DE的中點G，再連接AG即可；
（3）能，連接AC，過點B作BE∥AC交DC的延長線于點E，連接AE，證明可仿照（2）進行．
解答：解：（1）中線所在的直線；（2分）

（2）方法一：連接BE，因為AB∥CE，AB=CE，所以四邊形ABEC為平行四邊形，
所以BE∥AC（3分），
所以△ABC和△AEC的公共邊AC上的高也相等，
所以有S_△ABC=S_△AEC，
所以S_梯形ABCD=S_△ACD+S_△ABC=S_△ACD+S_△AEC=S_△AED．（5分）
方法二：設AE與BC相交于點F．
因為AB∥CE所以∠ABF=∠ECF，∠BAF=∠CEF，
又因為AB=CE，
所以△ABF≌△ECF，（4分）
所以S_梯形ABCD=S_△ACD+S_△ABC=S_△ACD+S_△AEC=S_△AED．（5分）
過點A的梯形ABCD的面積等分線的畫法如圖所示：作DE的垂直平分線，交DE于G，連接AG．則AG是梯形ABCD的面積等分線；


（3）能，連接AC，過點B作BE∥AC交DC的延長線于點E，連接AE．
因為BE∥AC，所以△ABC和△AEC的公共邊AC上的高也相等，所以有S_△ABC=S_△AEC，
所以S_{四邊形ABCD}=S_△ACD+S_△ABC=S_△ACD+S_△AEC=S_△AED．（8分）
因為S_△ACD＞S_△ABC，
所以面積等分線必與CD相交，取DE中點F，則直線AF即為要求作的四邊形ABCD的面積等分線，作圖如下：
（10分）
點評：本題考查了學生的閱讀理解能力、運用作圖工具的能力，以及運用三角形、等底等高性質等基礎知識解決問題的能力都有較高的要求．還滲透了由“特殊”到“一般”的數學思想．