Question

如圖（1），在平面直角坐標系中，點A的坐標為（8，0），∠OBA=90°，∠AOB=30°，點C為OB中點．點D從O點出發(fā)，沿△OAB的三邊按逆時針方向以2個單位長度/秒的速度運動一周，設(shè)點D的運動時間為t秒．
（1）點C的坐標為

 

；當t=

 

 秒時，BD=4；
（2）設(shè)O、C、D三點構(gòu)成的圖形的面積為S，求S與運動時間t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）點E在線段AB上以1個單位長度/秒的速度由點A向點B運動，如圖（2）．若點E與點D同時出發(fā)，在運動4秒鐘內(nèi)，t為何值時，以點D、A、E為頂點的三角形與△OAB相似？

Answer 1

分析：（1）過C點作CM⊥OA，求出CM，OM的長，即可求出C的坐標，確定出當BD=4時，D所在的位置即可求出t的值．
（2）本題分點D在OA上，AB上DB上三種情況討論，分別求出S與t的關(guān)系即可．
（3）本題需分DE∥OB和DE⊥OA兩種情況討論，根據(jù)三角形相似列出比例式，即可求出t的值．

解答：解：（1）過點C作CM⊥OA，垂足為點M
∵∠AOB=30°，∠OBA=90°
∴cos=30°=

OB

OA

∴

3

2

=

OB

8

∴OB=4

3

，
∵點C為OB中點，
∴OC=2

3

，
∴CM=

1

2

OC=

3

，
OM=3，
∴點C的坐標為（3，

3

），
當點D在OA的中點上時，BD=4，t=2；
當點D與點A重合時，BD=4，t=4；
當點D在BO上，且BD=4時，t=8；

（2）當點D在OA上運動時，
S_△OCD=

1

2

OD•CM=

1

2

×2t×

3

=

3

t，
當點D在AB上運動時，
∴S_△OCD=S_△AOB-S_△BCD-S_△AOD，
=

1

2

×4×4

3

-

1

2

×2

3

×（12-2t）-

1

2

×8×

3

（t-4），
=12

3

-2

3

t，
所以點D在OB邊上運動時，S_△OCD=0．

（3）過點E作FE∥OB，則△AFE∽△AOB，

AF

AO

=

AE

AB

，

8-2t

8

=

t

4

，
t=2，
當ED⊥OA時，△ADE∽△ABO，
則

AD

AB

=

AE

AO

，

8-2t

4

=

t

8

，
t=

16

5

．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，在解題時要根據(jù)已知條件分情況進行討論，不要漏掉這是解題的關(guān)鍵．