如圖,已知點(diǎn)C是以AB為直徑的⊙O上一點(diǎn),CH⊥AB于點(diǎn)H,過點(diǎn)B作⊙O 的切線交直線AC于點(diǎn)D,點(diǎn)E為CH的中點(diǎn),連結(jié)并延交BD于點(diǎn)F,直線CF交AB的延長線于G.

⑴求證:AE·FD=AF·EC;

⑵求證:FC=FB;

⑶若FB=FE=2,求⊙O 的半徑r的長.

 

【答案】

(1)證明:∵BD是⊙O的切線,∴∠DBA=90°。

∵CH⊥AB,∴CH∥BD�!唷鰽EC∽△AFD。

�!郃E•FD=AF•EC。

(2)證明:∵CH∥BD,∴△AEC∽△AFD,△AHE∽△ABF�!�

∵CE=EH(E為CH中點(diǎn)),∴BF=DF。

∵AB為⊙O的直徑,∴∠ACB=∠DCB=90°�!郈F=DF=BF,即CF=BF。

(3)解:∵BF=CF=DF(已證),EF=BF=2,∴EF=FC。∴∠FCE=∠FEC。

∵∠AHE=∠CHG=90°,∴∠FAH+∠AEH=90°,∠G+∠GCH=90°。

∵∠AEH=∠CEF,∴∠G=∠FAG�!郃F=FG。

∵FB⊥AG,∴AB=BG。

連接OC,BC,

∵BF切⊙O于B,∴∠FBC=∠CAB。

∵OC=OA,CF=BF,

∴∠FCB=∠FBC,∠OCA=∠OAC

∴∠FCB=∠CAB。

∵∠ACB=90°,∴∠ACO+∠BCO=90°�!唷螰CB+∠BCO=90°,即OC⊥CG。

∴CG是⊙O切線。

∵GBA是⊙O割線,F(xiàn)B=FE=2,由切割線定理得:(2+FG)2=BG×AG=2BG2

【注,沒學(xué)切割線定理的可由△AGC∽△CGB求得】

在Rt△BFG中,由勾股定理得:BG2=FG2﹣BF2,∴FG2﹣4FG﹣12=0。

解得:FG=6,F(xiàn)G=﹣2(舍去)。

由勾股定理得:AB=BG=。

∴⊙O的半徑r是。

【解析】(1)由BD是⊙O的切線得出∠DBA=90°,推出CH∥BD,證△AEC∽△AFD,得出比例式即可。

(2)證△AEC∽△AFD,△AHE∽△ABF,推出BF=DF,根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得出CF=DF=BF即可。

(3)求出EF=FC,求出∠G=∠FAG,推出AF=FG,求出AB=BG,連接OC,BC,求出∠FCB=∠CAB推出CG是⊙O切線,由切割線定理(或△AGC∽△CGB)得出(2+FG)2=BG×AG=2BG2,在Rt△BFG中,由勾股定理得出BG2=FG2﹣BF2,推出FG2﹣4FG﹣12=0,求出FG即可,從而由勾股定理求得AB=BG

的長,從而得到⊙O的半徑r。

 

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(1)求證:AE•FD=AF•EC;
(2)求證:FC=FB;
(3)若FB=FE=2,求⊙O的半徑r的長.

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⑵求證:FC=FB;
⑶若FB=FE=2,求⊙O 的半徑r的長.

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