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在△ABC中,AB>AC,∠A的外角平分線交△ABC的外接圓于D,DE⊥AB于E,求證:AE=(AB-AC).
【答案】分析:在BE上截取EG=AE,由DE⊥AB,則有DA=DG.只需證BG=AC即可,連接DC、DB、DFG從而只需證△DBG≌△DCA,而DA平分∠BAF,∠DGA=∠DAG=∠DAF,得到∠DGB=∠DAC,加上DG=DA,∠DBG=∠DCA,即可證明△DBG≌△DAC.
解答:證明:在BE上截取EG=AE,連DC,DB,如圖,
∵DE⊥AB,
∴DA=DG,
又∵DA平分∠BAF,
∴∠DGA=∠DAG=∠DAF,
∴∠DGB=∠DAC,而∠DBG=∠DCA,
∴△DBG≌△DCA,
∴BG=AC,
∴AB=2AE+AC.
即有AE=(AB-AC).
點評:本題考查了圓周角定理.在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半.同時考查了證明三條線段之間的關系時常采用截取的方法.
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(2013•寧德質檢)如圖,在△ABC中,AB=AC=6,點0為AC的中點,OE⊥AB于點E,OE=
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,以點0為圓心,OA為半徑的圓交AB于點F.
(1)求AF的長;
(2)連結FC,求tan∠FCB的值.

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(2012•襄陽)如圖,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于點D,將△ADC繞點A順時針旋轉,使AC與AB重合,點D落在點E處,AE的延長線交CB的延長線于點M,EB的延長線交AD的延長線于點N.
求證:AM=AN.

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(1)求證:△ADC≌△ECD;
(2)若BD=CD,求證:四邊形ADCE是矩形.

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