Question

如圖1，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a>0）的圖象的頂點為D點，與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側(cè)，B點的坐標為（3，0），OB=OC ，tan∠ACO=。
（1）求這個二次函數(shù)的表達式；
（2）經(jīng)過C、D兩點的直線，與x軸交于點E，在該拋物線上是否存在這樣的點F，使以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓與x軸相切，求該圓半徑的長度；
（4）如圖2，若點G（2，y）是該拋物線上一點，點P是直線AG下方的拋物線上一動點，當點P運動到什么位置時，△APG的面積最大？求出此時P點的坐標和△APG的最大面積。

                        圖1                                         圖2

Answer 1

解：（1）由已知得：C（0，-3），A（-1，0）， 將A、B、C三點的坐標代入得，解得：， 所以這個二次函數(shù)的表達式為：； （2）存在，F(xiàn)點的坐標為（2，-3） 易得D（1，-4），所以直線CD的解析式為：， ∴E點的坐標為（-3，0） ∵以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形 ∴F點的坐標為（2，-3）或（-2，-3）或（-4，3）  代入拋物線的表達式檢驗，只有（2，-3）符合 ∴存在點F，坐標為（2，-3）；
（3）如圖，①當直線MN在x軸上方時，設(shè)圓的半徑為R（R>0），則N（R+1，R）， 代入拋物線的表達式，解得 ， ②當直線MN在x軸下方時，設(shè)圓的半徑為r（r>0），則N（r+1，-r）， 代入拋物線的表達式，解得， ∴圓的半徑為或；
（4）過點P作y軸的平行線與AG交于點Q， 易得G（2，-3），直線AG為， 設(shè)P（x，），則Q（x，-x-1），PQ， 當時，△APG的面積最大， 此時P點的坐標為，的最大值為。