Question

（2011•盧灣區(qū)一模）如圖，已知△ABC與△BDE都是等邊三角形，點(diǎn)D在邊AC上（不與A、C重合），DE與AB相交于點(diǎn)F．
（1）求證：△BCD∽△DAF；
（2）若BC=1，設(shè)CD=x，AF=y；
①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域；
②當(dāng)x為何值時(shí)，？

Answer 1

【答案】分析：（1）由△ABC與△BDE都是等邊三角形，可得∠A=∠C=∠BDE=60°，即可得∠ADF=∠DBC，根據(jù)有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，可得△BCD∽△DAF；
（2）①根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可得，代入數(shù)值，化簡即可得y=x-x²（0＜x＜1）；
②由有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，可得△EBF∽△CBD，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例與相似三角形的面積比等于相似比的平方，可得比例式，列方程即可求得．
解答：解：（1）證明：∵△ABC與△BDE都是等邊三角形，
∴∠A=∠C=∠BDE=60°，
∵∠ADF+∠BDE=∠C+∠DBC，
∴∠ADF=∠DBC，
∴△BCD∽△DAF．

（2）①解：∵△BCD∽△DAF，
∴，
∵BC=1，設(shè)CD=x，AF=y，
∴，
∴y=x-x²（0＜x＜1）．
②解：解法一：∵△ABC與△BDE都是等邊三角形，
∴∠E=∠C=60°，∠EBD=∠CBA=60°，
∴∠EBF=∠CBD，
∴△EBF∽△CBD，
∴，
∴BE•BD=BF•BC
∵BE=BD，
∴BE²=BF•BC，
BC=1，
∴BE²=BF，
∵△EBF∽△CBD，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴當(dāng)或時(shí)，．
解法二：∵△ABC與△BDE都是等邊三角形，
∴∠E=∠C=60°，∠EBD=∠CBA=60°，
∴∠EBF=∠CBD，
∴△EBF∽△CBD，
∵，
∴，
∵BC=1，BE=BD，
∴．
過點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，
∵∠C=60°，
∴，
∴，，
當(dāng)點(diǎn)D在線段CH上時(shí)，；
當(dāng)點(diǎn)D在線段CH的延長線上時(shí)，，
綜上所述，當(dāng)或時(shí)，．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定．解題時(shí)要注意相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，相似三角形的面積比等于相似比的平方，以及有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似．