Question

如圖，有一塊鐵皮，拱形邊緣呈拋物線狀，MN=4m，拋物線頂點到線段MN的距離是4m，要在鐵皮上截下一矩形ABCD，使矩形頂點B、C落在邊MN上，點A、D落在拋物線上，這樣截下的矩形鐵皮的周長能否等于8m？

Answer 1

分析：以MN為x軸，其中點O為坐標原點建立直角坐標系，得出M、N及拋物線頂點坐標，從而求出拋物線的解析式，設A（x，y），建立含x的方程，矩形鐵皮的周長能否等于8米，取決于求出x的值是否在已求得的拋物線解析式中自變量的取值范圍內．

解答：解：以MN所在的直線為x軸，以MN的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，
則N（2，0），頂點坐標為（0，4），
設拋物線的解析式為y=ax²+4，將N（2，0）代入得：
4a+4=0，
解得：a=-1，
則拋物線的解析式為y=-x²+4，
因為點A、D落在拋物線上，
設A（m，-m²+4）（0＜m＜2），則D（-m，-m²+4），
所以矩形鐵皮的周長為4m+2（4-m²）=-2m²+4m+8，
假如截下的矩形鐵皮的周長等于8，
則-2m²+4m+8=8，
解得m₁=0，m₂=2，
但這兩個解都不在0＜m＜2的范圍內，
所以這樣截下的矩形鐵皮的周長不可能等于8m．

點評：此題考查了二次函數的應用，把一個實際問題轉化成數學問題，需要觀察分析、建模，建立直角坐標系下的函數模型是解決實際問題的常用方法，同一問題有不同的建模方式，通過分析比較可獲得簡解．