Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點D，EF垂直平分AD交AB于點E．
（1）證明：△DEF∽△ADC；
（2）若AE=25，AC=32，求AD的長．

Answer 1

（1）證明：如圖，∵EF垂直平分AD交AB于點E，
∴∠DFE=∠C=90°，∠1=∠2．
又∵Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴∠DFE=∠C=90°，∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴△DEF∽△ADC；

（2）∵EF垂直平分AD交AB于點E，AE=25，
∴AE=DE=25，DF=AF=AD．
由（1）知，△DEF∽△ADC，
∴=，即=，
解得AD=40．即AD的長度是40．
分析：（1）根據(jù)垂直的定義得到∠DFE=90°，則∠DFE=∠C=90°；然后由角平分線線的定義得到∠2=∠3，由線段垂直平分線的性質得到∠1=∠2，則∠1=∠3；所以由“兩角法”證得結論；
（2）由線段垂直平分線的性質得到AE=DE=25，DF=AF=AD．然后根據(jù)（1）中相似三角形的對應邊成比例可以得到=，即=，由此易求AD的長度．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質和線段垂直平分線的性質．解題時，利用了線段垂直平分線的性質：
①垂直平分線垂直且平分其所在線段；
②垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．