如圖1,在等邊△ABC中,線段AM為BC邊上的中線,動點D在直線AM(點D與點A重合除外)上時,以CD為一邊且在CD的下方作等邊△CDE,連接BE.
(1)判斷AD與BE是否相等,請說明理由;
(2)如圖2,若AB=8,點P、Q兩點在直線BE上且CP=CQ=5,試求PQ的長;
(3)在第(2)小題的條件下,當點D在線段AM的延長線(或反向延長線)上時.判斷PQ的長是否為定值,若是請直接寫出PQ的長;若不是請簡單說明理由.
分析:(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=BC,CD=CE,再求出∠ACD=∠BCE,然后利用“邊角邊”證明△ACD和△BCE全等,根據(jù)全等三角形對應邊相等即可得證;
(2)過點C作CN⊥BQ于點N,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得PQ=2PN,CM⊥AD,根據(jù)全等三角形對應邊上的高線相等可得CN=CM,然后利用勾股定理列式求出PN的長度,從而得解;
(3)根據(jù)(2)的結(jié)論,點C到PQ的距離等于CM的長度,是定值,所以,PQ的長是定值不變.
解答:解:(1)AD=BE.理由如下:
∵△ABC,△CDE都是等邊三角形,
∴AC=BC,CD=CE,
∵∠ACD+∠BCD=∠ACB=60°,
∠BCE+∠BCD=∠DCE=60°,
∴∠ACD=∠BCE,
在△ACD和△BCE中,
AC=BC
∠ACD=∠BCE
CD=CE
,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE;

(2)如圖,過點C作CN⊥BQ于點N,
∵CP=CQ,
∴PQ=2PN,
∵△ABC是等邊三角形,AM是中線,
∴CM⊥AD,CM=
1
2
BC=
1
2
×8=4,
∴CN=CM=4(全等三角形對應邊上的高相等),
∵CP=CQ=5,
∴PN=
CP2-CN2
=
52-42
=3,
∴PQ=2PN=2×3=6;

(3)PQ的長為定值6.
∵點D在線段AM的延長線(或反向延長線)上時,△ACD和△BCE全等,
∴對應邊AD、BE上的高線對應相等,
∴CN=CM=4是定值,
∴PQ的長是定值.
點評:本題考查了等邊三角形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的應用,根據(jù)全等三角形對應邊上的高線相等求出點C到PQ的距離等于CM是解題的關(guān)鍵.
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相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖1,在等邊△ABC中,AD是∠BAC的平分線,一個含有120°角的△MPN的頂點P(∠MPN=120°)與點D重合,一邊與AB垂直于點E,另一邊與AC交于點F.
(1)請猜想并寫出AE+AF與AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系,不必證明.
(2)在圖1的基礎上,若△MPN繞著它的頂點P旋轉(zhuǎn),E、F仍然是△MPN的兩邊與AB、AC的交點,當三角形紙板的邊不與AB垂直時,如圖2,(1)中猜想是否仍然成立?說明理由.
(3)如圖3,若△MPN繞著它的頂點P旋轉(zhuǎn),當△MPN的一邊與AB的延長線相交,另一邊與AC的反向延長線相交時,AE、AF與AD之間又滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?直接寫出結(jié)論,不必證明.精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖1,在等邊△ABC中,點D是邊AC的中點,點P是線段DC上的動點(點P與點C不重合),連接BP.將△ABP繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)α角(0°<α<180°),得到△A1B1P,連接AA1,射線AA1分別交射線PB、射線B1B于點E、F.
(1)如圖1,當0°<α<60°時,在α角變化過程中,△BEF與△AEP始終存在
 
關(guān)系(填“相似”或“全等”),并說明理由;
(2)如圖2,設∠ABP=β.當60°<α<180°時,在α角變化過程中,是否存在△BEF與△AEP全等?若存在,求出α與β之間的數(shù)量關(guān)系;若不存在,請說明理由;
(3)如圖3,當α=60°時,點E、F與點B重合.已知AB=4,設DP=x,△A1BB1的面積為S,求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

觀察發(fā)現(xiàn)
(1)如圖1,若點A、B在直線l同側(cè),在直線l上找一點P,使AP+BP的值最�。�
作法如下:作點B關(guān)于直線l的對稱點B′,連接AB′,與直線l的交點就是所求的點P.
(2)如圖2,在等邊三角形ABC中,AB=4,點E是AB的中點,AD是高,在AD上找一點P,使BP+PE的值最小.
作法如下:作點B關(guān)于AD的對稱點,恰好與點C重合,連接CE交AD于一點,則這點就是所求的點P,故BP+PE的最小值為
2
3
2
3

實踐運用
如圖3,菱形ABCD中,對角線AC、BD分別為6和8,M、N分別是邊BC、CD的中點,若點P是BD上的動點,則MP+PN的最小值是
5
5

拓展延伸
(1)如圖4,正方形ABCD的邊長為5,∠DAC的平分線交DC于點E.若點P,Q分別是AD和AE上的動點,則DQ+PQ的最小值是
5
2
2
5
2
2
;
(2)如圖5,在四邊形ABCD的對角線BD上找一點P,使∠APB=∠CPB.保留畫圖痕跡,并簡要寫出畫法.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:閱讀理解

請閱讀下列材料?:
問題:如圖1,在等邊三角形ABC內(nèi)有一點P,且PA=2,PB=
3
,PC=1.求∠BPC度數(shù)的大小和等邊三角形ABC的邊長.
李明同學的思路是:將△BPC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°,畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形(如圖2).連接PP′,可得△P′PB是等邊三角形(可證),而△PP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可證).所以∠AP′B=150°,而∠BPC=∠AP′B=150°.進而把AB放在Rt△APB(可證得)中,用勾股定理求出等邊△ABC的邊長為
7
.問題得到解決.?
[思路分析]首先仔細閱讀材料,問題中小明的做法總結(jié)起來就是通過旋轉(zhuǎn)固定的角度將已知條件放在同一個(組)圖形中進行研究.旋轉(zhuǎn)60度以后BP就成了BP′,PC成了P′A,借助等量關(guān)系BP′=PP′,于是△APP′就可以計算了.
解決問題:
請你參考李明同學旋轉(zhuǎn)的思路,探究并解決下列問題:
如圖3,在正方形ABCD內(nèi)有一點P,且PA=
5
,BP=
2
,PC=1.求∠BPC度數(shù)的大小和正方形ABCD的邊長.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(1)畫圖探究:
如圖1,若點A、B在直線m同側(cè),在直線m上求作一點P,使AP+BP的值最小,保留作圖痕跡,不寫作法;
(2)實踐運用:
如圖2,在等邊△ABC中,AB=2,點E是AB的中點,AD是高,點P是高AD上一個動點,求BP+PE的最小值
(3)拓展延伸:
如圖3,四邊形ABCD中,∠BAD=125°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分別找一點M、N,使△AMN周長最小,并求此時∠MAN的度數(shù).

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