Question

【題目】如圖，，點(diǎn)、都在射線上，，，是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過、、三點(diǎn)作圓，當(dāng)該圓與相切時(shí)，其半徑的長為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

圓C過點(diǎn)P、Q，且與相切于點(diǎn)M，連接CM，CP，過點(diǎn)C作CN⊥PQ于N并反向延長，交OB于D，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和垂徑定理，即可求出ON、ND、PN，設(shè)圓C的半徑為r，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可用r表示出CD、NC，最后根據(jù)勾股定理列方程即可求出r．

解：如圖所示，圓C過點(diǎn)P、Q，且與相切于點(diǎn)M，連接CM，CP，過點(diǎn)C作CN⊥PQ于N并反向延長，交OB于D

∵，，

∴PQ=OQ－OP=4

根據(jù)垂徑定理，PN=

∴ON=PN＋OP=4

在Rt△OND中，∠O=45°

∴ON=ND=4，∠NDO=∠O=45°，OD=

設(shè)圓C的半徑為r，即CM=CP=r

∵圓C與相切于點(diǎn)M，

∴∠CMD=90°

∴△CMD為等腰直角三角形

∴CM=DM=r，CD=

∴NC=ND－CD=4－

根據(jù)勾股定理可得：NC2＋PN2=CP2

即

解得：（此時(shí)DM＞OD，點(diǎn)M不在射線OB上，故舍去）

故答案為：．