Question

17．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，O是△ABC的內心，以O為圓心，r為半徑的圓與線段AB有交點，則r的取值范圍是（　　）

• A． r≥1
• B． 1≤r≤$\sqrt{5}$
• C． 1≤r≤$\sqrt{10}$
• D． 1≤r≤4

Answer 1

分析 作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，根據題意得出四邊形OECF是正方形，得出OF=CF，由勾股定理得出AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，由內心的性質得出CF=OF=1，AF=AC-CF=3，由勾股定理求出OA，由直線與圓的位置關系，即可得出結果．

解答 解：作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，連接OA、OB，如圖所示
則四邊形OECF是正方形，
∴OF=CF=OE=CE，
∵∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∵O是△ABC的內心，
∴CE=CF=OF=OE=$\frac{1}{2}$（AC+BC-AB）=1，
∴AF=AC-CF=3，BE=BC-CE=2，
∴OA=$\sqrt{A{F}^{2}+O{F}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，OB=$\sqrt{B{E}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
當r=1時，以O為圓心，r為半徑的圓與線段AB有唯一交點；
當1＜r≤$\sqrt{5}$時，以O為圓心，r為半徑的圓與線段AB有兩個交點；
當$\sqrt{5}$＜r≤$\sqrt{10}$時，以O為圓心，r為半徑的圓與線段AB有1個交點；
∴以O為圓心，r為半徑的圓與線段AB有交點，則r的取值范圍是1≤r≤$\sqrt{10}$；
故選：C．

點評 本題考查了直線與圓的位置關系、三角形的內切圓與內心、勾股定理、直角三角形內切圓半徑的計算等知識；熟練掌握直線與圓的位置關系，由勾股定理求出OA是解決問題的關鍵．