Question

【題目】如圖，一次函數(shù)的函數(shù)圖像與x軸、y軸分別交于點A、B，以線段AB為直角邊在第一象限內作Rt△ABC，且使∠ABC＝30.

（1）求△ABC的面積；

（2）如果在第二象限內有一點P（m，），試用含m的代數(shù)式表示四邊形AOPB的面積，并求當△APB與△ABC面積相等時m的值；

（3）是否存在使△QAB是等腰三角形并且在坐標軸上的點Q？若存在，請寫出Q的所有可能的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）S四邊形POAB＝－m + ；；（3）存在，（3, 0），（－1, 0），（0， －），（0，+2），（0，－2），（0,，）.

【解析】

（1）先求出A、B兩點的坐標，再由一個角等于30°，求出AC的長，從而計算出面積；
（2）過P作PD⊥x軸，垂足為D，先求出梯形ODPB的面積和△AOB的面積之和，再減去△APD的面積，即是△APB的面積；根據△APB與△ABC面積相等，求得m的值；
（3）假設存在點Q，使△QAB是等腰三角形，求出Q點的坐標即可．

（1）由條件知：

∴ 在Rt△ABO中，

在Rt△ABC中，∵ ∠ABC=30°,

∴

∴

（2）S四邊形POAB＝S△OBP＋S△AOB

∵

∴ S四邊形POAB

∵

∴ S△APB＝S四邊形POAB－S△AOP

當S△APB＝時

∴

(3)∵

∴當AQ=AB時,點

當AB=BQ時,點

當AQ=BQ時,點

綜上可得：