Question

在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，點A坐標(biāo)為（1，0），以OA為邊在第一象限內(nèi)作等邊△OAB，C為x軸正半軸上的一個動點（OC＞1），連接BC，以BC為邊在第一象限內(nèi)作等邊△BCD，直線DA交y軸于E點．

（1）如圖，當(dāng)C點在x軸上運動時，設(shè)AC＝x，請用x表示線段AD的長；

（2）隨著C點的變化，直線AE的位置變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，請求出直線AE的解析式．

（3）以線段BC為直徑作圓，圓心為點F，

①當(dāng)C點運動到何處時直線EF∥直線BO？此時⊙F和直線BO的位置關(guān)系如何？請說明理由．

②G為CD與⊙F的交點，H為直線DF上的一個動點，連結(jié)HG、HC，求HG＋HC的最小值，并將此最小值用x表示．

Answer 1

解：（1）∵△OAB和△BCD都為等邊三角形，∴OB=AB，BC=BD，∠OBA=∠DBC=60°，即∠OBA+∠ABC=∠DBC+∠ABC，∴∠OBC=∠ABD，∴△OBC≌△ABD，∴AD=OC=1+x；

（2）隨著C點的變化，直線AE的位置不變．理由如下：

由△OBC≌△ABD，得到∠BAD=∠BOC=60°，又∵∠BAO=60°，∴∠DAC=60°，

∴∠OAE=60°，又OA=1，

在直角三角形AOE中， OE=，點E坐標(biāo)為（0，﹣），A（1，0），

設(shè)直線AE解析式為y=kx+b，把E和A的坐標(biāo)代入得：，

解得：，

所以直線AE的解析式為y=x﹣；

（3）根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：∵∠BOA=∠DAC=60°，EA∥OB，又EF∥OB，

則EF與EA所在的直線重合，∴點F為DE與BC的交點，又F為BC中點，∴A為OC中點，又AO=1，則OC=2，∴當(dāng)C的坐標(biāo)為（2，0）時，EF∥OB；這時直線BO與⊙F相切，理由如下：

∵△BCD為等邊三角形，F(xiàn)為BC中點，∴DF⊥BC，又EF∥OB，∴FB⊥OB，即∠FBO=90°，

故直線BO與⊙F相切；