Question

小曼和他的同學(xué)組成了“愛(ài)琢磨”學(xué)習(xí)小組，有一次，他們碰到這樣一道題：“已知正方形ABCD，點(diǎn)E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，則EG=FH．”為了解決這個(gè)問(wèn)題，經(jīng)過(guò)思考，大家給出了以下兩個(gè)方案：
方案一：過(guò)點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B作BN∥EG交CD于點(diǎn)N；
方案二：過(guò)點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A作AN∥EG交CD于點(diǎn)N．…
（1）對(duì)小曼遇到的問(wèn)題，請(qǐng)?jiān)诩住⒁覂蓚�(gè)方案中任選一個(gè)加以證明（如圖（1））．
（2）如果把條件中的“正方形”改為“長(zhǎng)方形”，并設(shè)AB=2，BC=3（如圖（2）），是探究EG、FH之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（3）如果把條件中的“EG⊥FH”改為“EG與FH的夾角為45°”，并假設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，F(xiàn)H的長(zhǎng)為

5

2

（如圖（3）），試求EG的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）過(guò)點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，作AN∥EG交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，利用正方形ABCD，AB=AD，∠ABM=∠BAD=∠ADN=90°求證△ABM≌△ADN即可．
（2）過(guò)點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，作AN∥EC交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，利用在長(zhǎng)方形ABCD中，BC=AD，∠ABM=∠BAD=∠ADN=90°求證△ABM∽△ADN．再根據(jù)其對(duì)應(yīng)邊成比例，將已知數(shù)值代入即可．
（3）過(guò)點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A作AN∥EG交CD于點(diǎn)N，將△AND繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△APB．從而求證△APM≌△ANM，得出PM=NM．再設(shè)DN=x，根據(jù)勾股定理列方程即可求解．

解答：解：（1）證明：過(guò)點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，作AN∥EG交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，
∴AM=HF，AN=BC，
在正方形ABCD中，AB=AD，∠ABM=∠BAD=∠ADN=90°
∵EG⊥FH，
∴∠NAM=90°，
∴∠BAM=∠DAN，
在△ABM和△ADN中，∠BAM=∠DAN，AB=AD，∠ABM=∠ADN
∴△ABM≌△ADN
∴AM=AN，即EC=FH


（2）結(jié)論：EG：FH=3：2
證明：過(guò)點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，作AN∥EC交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，
∴AM=HF，AN=EC，在長(zhǎng)方形ABCD中，BC=AD，∠ABM=∠BAD=∠ADN=90°，
∵EG⊥FH，
∴∠NAM=90°，
∴∠BAM=∠DAN．
∴△ABM∽△ADN．

AM

AN

=

AB

AD

，
∵AB=2，BC=AD=3，
∴

EC

FH

=

3

2

．

（3）解：過(guò)點(diǎn)A作AM∥HF交BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A作AN∥EG交CD于點(diǎn)N，
∵AB=1，AM=FH=

5

2

．
∴在Rt△ABM中，BM=

1

2

．
將△AND繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△APB．
∵EG與FH的夾角為45°，
∴∠MAN=45°，
∴∠DAN+∠MAB=45°，即∠PAM=∠MAN=45°，
從而△APM≌△ANM，
∴PM=NM．
設(shè)DN=x，則NC=1-x，MN=PM=

1

2

+x．
在Rt△CMN中，(

1

2

+x)2=

1

4

+(1-x)2解得x=

1

3

．
∴EG=AN=

1+x2

=

10

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合性較強(qiáng)，難度較大，是一道難題．