13.測量建筑物的高度

在《相似》和《銳角三角函數(shù)》的學(xué)習(xí)中,我們了解了借助太陽光線、利用標(biāo)桿、平面鏡等可以測量建筑物的高度.綜合實踐活動課上,數(shù)學(xué)王老師讓同學(xué)制作了一種簡單測角儀:把一根細(xì)線固定在量角器的圓心處,細(xì)線的另一端系一個重物(如圖1);將量角器拿在眼前,使視線沿著量角器的直徑剛好看到需測量物體的頂端,這樣可以得出需測量物體的仰角α的度數(shù)(如圖2,3).利用這種簡單測角儀,也可以幫助我們測量一些建筑物的高度.天壇是世界上最大的祭天建筑群,1998年被確認(rèn)為世界…文化遺產(chǎn).它以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕ㄖ植迹嫣氐慕ㄖ䴓?gòu)造和瑰麗的建筑裝飾聞名于世.祈年殿是天壇主體建筑,又稱祈谷殿(如圖4).采用的是上殿下屋的構(gòu)造形式,殿為圓形,象征天圓;瓦為藍色,象征藍天.祈年殿的殿座是圓形的祈谷壇.請你利用所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識,設(shè)計一個測量方案,解決“測量天壇祈年殿的高度”的問題.要求:
(1)寫出所使用的測量工具;
(2)畫出測量過程中的幾何圖形,并說明需要測量的幾何量;
(3)寫出求天壇祈年殿高度的思路.

分析 根據(jù)題意畫出圖形,根據(jù)正切的概念解答即可.

解答 解:(1)測量工具有:簡單測角儀,測量尺;
(2)設(shè)CD表示祈年殿的高度,測量過程的幾何圖形如圖所示;
需要測量的幾何量如下:
①在點A,點B處用測角儀測出仰角α,β;
②測出A,B兩點之間的距離s;
(3)設(shè)CD的高度為x m.
在Rt△DBC中,$BC=\frac{x}{tanβ}$,
在Rt△DAC中,$AC=\frac{x}{tanα}$,
∵AB=AC-BC,
∴$s=\frac{x}{tanα}-\frac{x}{tanβ}$,
解得,x=$\frac{s•tanα•tanβ}{tanβ-tanα}$.

點評 本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題,掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

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