Question

二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象的一部分如圖，已知它的頂點M在第二象限，且經(jīng)過點A（1，0）和點B（0，1）．
（1）請判斷實數(shù)a的取值范圍，并說明理由；
（2）設此二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個交點為C，當△AMC的面積為△ABC面積的

5

4

倍時，求a的值．

Answer 1

分析：（1）將A、B代入拋物線的解析式中，可得出a、b的關(guān)系式，然后用a表示出拋物線的解析式．根據(jù)圖象首先肯定的是拋物線的開口向下，因此a＜0，由于拋物線頂點在第二象限即拋物線對稱軸在y軸左側(cè)，根據(jù)拋物線的對稱性可知：A點關(guān)于拋物線的對稱點必在（-1，0）的左側(cè)，因此當x=-1時，拋物線的值必大于0由此可求出a的取值范圍；
（2）根據(jù)拋物線的解析式（只含a一個待定系數(shù)的函數(shù)式）表示出頂點M和C點的坐標，然后根據(jù)題中給出的面積的等量關(guān)系式，可求出a的值．

解答：解：（1）由圖象可知：a＜0
圖象過點（0，1），
所以c=1，圖象過點（1，0），
則a+b+1=0
當x=-1時，應有y＞0，則a-b+1＞0
將a+b+1=0代入，可得a+（a+1）+1＞0，
解得a＞-1
所以，實數(shù)a的取值范圍為-1＜a＜0；

（2）此時函數(shù)y=ax²-（a+1）x+1，
M點縱坐標為：

4a-(a+1)2

4a

=

-(a-1)2

4a

，
圖象與x軸交點坐標為：ax²-（a+1）x+1=0，
解得；x ₁=1，x ₂=

1

a

，
則AC=1-

1

a

=

a-1

a

，
要使S_△AMC=

1

2

×

-(a-1)2

4a

×

a-1

a

=

(1-a)3

8a2

=

5

4

S_△ABC=

5

4

•

a-1

2a

可求得a=

-3+ 5

2

．

點評：本題主要考查了拋物線的性質(zhì)、圖形面積的求法等知識點．