如圖,一次函數(shù)分別交y軸、x軸于A、B兩點,拋物線y=﹣x2+bx+c過A、B兩點.

(1)求這個拋物線的解析式;

(2)作垂直x軸的直線x=t,在第一象限交直線AB于M,交這個拋物線于N.求當t取何值時,MN有最大值?最大值是多少?

(3)在(2)的情況下,以A、M、N、D為頂點作平行四邊形,求第四個頂點D的坐標.

 

【答案】

(1)y=﹣x2+x+2(2)當t=2時,MN有最大值4(3)D點坐標為(0,6),(0,﹣2)或(4,4)

【解析】解:(1)∵分別交y軸、x軸于A、B兩點,

∴A、B點的坐標為:A(0,2),B(4,0)。

將x=0,y=2代入y=﹣x2+bx+c得c=2;

將x=4,y=0代入y=﹣x2+bx+c得0=﹣16+4b+2,解得b=。

∴拋物線解析式為:y=﹣x2+x+2。

(2)如圖1,

設MN交x軸于點E,則E(t,0),BE=4﹣t。

,

∴ME=BE•tan∠ABO=(4﹣t)× =2﹣t。

又∵N點在拋物線上,且xN=t,∴yN=﹣t2+t+2。

。

∴當t=2時,MN有最大值4。

(3)由(2)可知,A(0,2),M(2,1),N(2,5).

如圖2,

以A、M、N、D為頂點作平行四邊形,D點的可能位置有三種情形。

(i)當D在y軸上時,設D的坐標為(0,a),

由AD=MN,得|a﹣2|=4,解得a1=6,a2=﹣2,

從而D為(0,6)或D(0,﹣2)。

(ii)當D不在y軸上時,由圖可知D為D1N與D2M的交點,

由D1(0,6),N(2,5)易得D1N的方程為y=x+6;

由D2(0,﹣2),M(2,1)D2M的方程為y=x﹣2。

由兩方程聯(lián)立解得D為(4,4)。

綜上所述,所求的D點坐標為(0,6),(0,﹣2)或(4,4)。

(1)首先求得A、B點的坐標,然后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式。

(2)求得線段MN的表達式,這個表達式是關于t的二次函數(shù),利用二次函數(shù)的極值求線段MN的最大值。

(3)明確D點的可能位置有三種情形,如圖2所示,不要遺漏.其中D1、D2在y軸上,利用線段數(shù)量關系容易求得坐標;D3點在第一象限,是直線D1N和D2M的交點,利用直線解析式求得交點坐標。

 

練習冊系列答案
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如圖,一次函數(shù)y=x-5分別交x軸、y軸于A、B兩點,二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象經過A、B兩點.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)設D、E是線段AB上異于A、B的兩個動點(E點位于D點上方),DE=
2

①若點D的橫坐標為t,用含t的代數(shù)式表示D、E的坐標;
②拋物線上是否存在點F,使點F與點D關于x軸對稱,如果存在,請求出△AEF的面積;如果不存在,請說明理由.
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